Ha és két tetszőleges halmaz, akkor egy -ból -be ható függvény az halmaz minden eleméhez hozzárendeli a halmaz egy elemét. A függvény jele:
Ha az halmaz egy tetszőleges eleme, akkor az függvény egyetlen értéke az -ban.
Ha a függvény által létesített hozzárendelés egyszerű, képlettel leírható, megengedett a függvény jelöléseként a képletet használni. Például
helyett elég illetve jelölést használni. Hasonlóan továbbra is használhatjuk az jelöléseket a megfelelő függvények megadására.
Definíció:függvénnyel kapcsolatos fogalmak.
Értelmezési tartomány. Egy függvény esetén az halmazt az függvény értelmezési tartományának nevezzük, jele vagy .
Értékkészlet. A függvény értékkészlete, vagy , a felvett értékek halmaza:
Az értékkészlet tehát része a halmaznak, de nem feltétlen egyenlő vele.
Függvények egyenlősége.
Két függvény, és pontosan akkor egyelő, ha megegyezik az értelmezési tartományuk és a közös értelmezési tartomány minden pontjában ugyanazt az értéket veszik fel. Matematikai jelekkel:
Grafikon.
Az függvény grafikonja
Az függvény grafikonja tehát rendezett párokból áll és így része -nek, az és halmazok Descartes-szorzatának.
Kompozíció.
Ha és két függvény, akkor a összetett függvény, a két függvény kompozíciója. Ennek értelmezési tartománya
helyettesítési értékei értékei minden esetén
Ha , akkor az az összetett függvény külső függvénye, és a belső függvénye.
Megjegyzés:
Előfordulhat, hogy a kompozíció fenti definíciója esetén olyan függvényt kapunk, amelyre , azaz a függvény sehol sincs értelmezve. Ez az üres függvény, amelyik azonosítható az üres halmazzal.
Inverz függvény.
Azt mondjuk, hogy az függvény
egy-egy értelmű vagy kölcsönösen egyértelmű illetve
invertálható, ha az függvény különböző -beli pontokhoz különböző értékeket rendel.
Azt mondjuk, hogy a függvény az egy-egy értelmű függvény inverz függvénye, vagy röviden inverze, ha
Egy függvénynek csak egy inverze lehet, ennek jele .
A fentiekből kiolvasható, hogy inverz inverze az eredeti függvény, azaz
Definíció:Valós függvény.
Ha és a valós számok egy részhalmaza,akkor az függvényt valós függvénynek nevezzük.
A továbbiakban függvényen, ha mást nem mondunk, valós függvényt értünk!
Definíció:Függvények globális tulajdonságai.
Az függvény korlátos a halmazon, ha van olyan szám, hogy esetén . Egy ilyen számot a függvény korlátjának nevezünk.
Az függvény monoton, ha monoton nő vagy monoton csökken, azaz:
Az függvény monoton nő a halmazon, ha esetén .
Az függvény monoton csökken a halmazon, ha esetén .
Az függvény szigorúan monoton, ha szigorúan monoton nő vagy szigorúan monoton csökken azaz:
Az függvény szigorúan monoton nő a halmazon, ha esetén .
Az függvény szigorúan monoton csökken a halmazon, ha esetén .
Az függvény páros, ha az értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra és minden esetén .
Az függvény páratlan, ha az értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra és minden esetén .
A szám periódusa a mindenütt értelmezett függvénynek, ha minden esetén .
A mindenütt értelmezett függvény periodikus, ha van (legalább egy) periódusa.
10.1. Néhány egyszerű függvénytípus
Definíció:Lineáris függvények.
Az vagy alakú függvényeket lineáris függvényeknek nevezzük. Itt és állandó. Az elnevezést az indokolja, hogy grafikonjuk a síkban egyenes. Itt az egyenes meredeksége, pedig az tengellyel való metszéspontja az egyenesnek.
Abban a speciális esetben, amikor , azaz a függvény grafikonja egy vízszintes egyenes, konstans függvényről beszélünk.
Definíció:Hatványfüggvények.
Az vagy alakú függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük. Itt egy állandó, a hatvány kitevője. Ha a kitevő egy pozitív egész szám, akkor a függvény értelmezési tartománya az egész számegyenes. Ha a kitevő negatív, akkor a függvény nincs értelmezve -ban.
A törtkitevőjű hatványfüggvények közül különösen fontos az
négyzetgyökfüggvény és az köbgyökfüggvény.
A négyzetgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a félegyenes, azaz a nemnegatív valós számok.
A köbgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a egyenes, azaz az összes valós szám.
Definíció:Exponenciális függvények.
Az alakú függvényeket -alapú exponenciális függvényeknek nevezzük. Itt az alap csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . Az exponenciális függvények értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .
Definíció:Logaritmusfüggvények.
Az alakú függvényeket -alapú logaritmusfüggvényeknek nevezzük. Ezek az exponenciális függvények inverzei. Az alap itt is csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . A logaritmusfüggvények értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .
Definíció:Trigonometrikus függvények.
Az alábbi ábrákon a négy legismertebb trigonometrikus függvény grafikonja látható. Közülük a és a mindenütt értelmezve van, értékkészlete a zárt intervallum és szerint periodikus.
A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol tetszőleges egész szám.
A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol tetszőleges egész szám.
A és a függvény értékkészlete és szerint periodikus.
Műveletek függvényekkel
Definíció:Algebrai műveletek.
Ha és két valós függvény, pedig tetszőleges valós szám, akkor
•
,
•
,
•
,
•
,
•
,
A függvények összegének és szorzatának grafikonja az alábbi ábrákon látható:
Két függvény összege
Két függvény szorzata
Definíció:Összetett függvény vagy kompozíció.
Az és , az és a függvények grafikonjai láthatóak az ábrán.
Két függvény kompozíciója
Definíció:Függvénytranszformációk.
Függőleges eltolás.
Az kifejezés az grafikonját felfelé tolja -vel, ha és lefelé -vel, ha .
Vízszintes eltolás.
Az kifejezés az grafikonját balra tolja -vel, ha és jobbra -vel, ha .
Függőleges nyújtás.
Az kifejezés az grafikonját az tengely irányában -szere\-sére nyújtja, ha és
-ed részére zsugorítja, ha . Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
Vízszintes nyújtás.
Az kifejezés az grafikonját az tengely irányában -szeresére nyújtja, ha
és -ed részére zsugorítja, ha . Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
10.3. Feladatok
Melyik görbe lehet valamelyik valós függvény grafikonja?
A (c) és (d) ábrán szereplő görbék nem függvénygrafikonok mert van olyan függőleges egyenes, amelyik a görbét több mint egy pontban (két pontban) metszi. Az (a) és (b) ábrák viszont függvénygrafikont ábrázolnak. Az ábrákon szereplő görbék:
Két függvény pontosan akkor egyezik meg, ha megegyezik az értelmezési tartományuk és itt minden pontban azonos értékeket vesznek fel. Ezért a fenti függvények közül és
, azaz és .
Más egyenlőség nem teljesül! Jegyezzük meg azonban, hogy pozitív esetén mind a hat függvény azonos értéket vesz fel.
