Pillanatnyi sebesség.
Tekintsük az egyenesvonalú mozgást végző testet. Ha az adott időpontban a helyzetét jelöli, akkor a és
időpontok között az átlagsebessége . Hogyan kaphatnánk meg a test pillanatnyi sebességét a időpontban? Nyilván minél kisebb a és időpontok távolsága, az átlagsebesség annál jobban
közelíti a pillanatnyi sebességet.
Síkgörbe érintője.
Szeretnénk meghatározni egy adott síkgörbe érintőjét a görbe egy adott pontjában. Az egyszerűség kedvéért
tegyük fel, hogy a görbe egy függvény grafikonja. Ekkor tehát . Ismerjük a keresett egyenes egy pontját,
az érintési pontot, ezért elég megadnunk az érintő meredekségét. De hogyan? Megint szemléletesen elég nyilvánvaló,
hogyha tekintjük a görbe egy másik pontját, akkor a két ponton át húzott szelő meredeksége,
annál jobban megközelíti az érintő meredekségét, minél kisebb a két pont távolsága.
Valójában mindkét esetben egy matematikai fogalom segítségével kaphatjuk meg a keresett számokat és ez a határérték fogalma.
Definíció:Környezet. Legyen egy pont a számegyenesen, és
.
Az alakú nyílt intervallumokat az szám környezeteinek nevezzük.
Az , illetve az alakú intervallumokat az szám jobb oldali illetve bal oldali környezetének nevezzük.
Az szám pontozott környezetei az
alakú halmazok.
Az , illetve az alakú (nyílt) intervallumokat az szám jobb oldali illetve bal oldali pontozott környezetének nevezzük.
A környezeteinek nevezzük a alakú félegyeneseket.
A környezeteinek nevezzük a alakú félegyeneseket.
Definíció:Függvény határértéke.
Legyen egy valós függvény, pedig egy valós szám. Azt mondjuk, hogy az függvény határértéke az pontban a valós szám, ha a függvény értelmezve van az pont egy pontozott környezetében és minden pozitív számhoz, található egy olyan pozitív szám, hogy , ha és , azaz
A határértéket így jelöljük:
Nézzük meg, mit is jelent a határértéknek ez a bonyolult formulája:
Az a határérték, most egy környezetére utal. Minél kisebb az , annál közelebb vagyunk a határértékhez.
A az pont, ahol a határértéket nézzük, egy pontozott környezetét jelöli ki.
Tehát a formula jelentése:
A akármelyik környezetéhez található az egy pontozott környezete úgy, hogy bármely -et választva a pontozott környezetből, a kijelölt környezetébe esik.
Az előző állítás geometriai jelentése: Az vízszintes sáv és az függőleges sáv metszete tartalmazza a függvény grafikonjának feletti részét az esetleges pont kivételével.
Minél kisebb környezetét választjuk -nek, annál kisebb (pontozott) környezetét találjuk alkalmasnak, azaz ahol a függvényértékek -hez elég közel esnek. Kivételt egyedül a (lokálisan) konstans függvények jelentik.
Az függvény határértékét szemlélteti a következő ábra. Itt adott -hoz a értéket választottuk, mert a legjobb választásához az egyenletet kellene megoldani és diszkutálni.
Tétel:Műveleti szabályok.
Ha az és a függvényeknek van határértéke az pontban akkor
az összeg függvénynek is van határértéke és
a szorzat függvénynek is van határértéke és
a hányados függvénynek is van határértéke ha ,és
ha egy rögzített pozitív egész, vagy páratlan, akkor az függvény -adik gyökének is van határértéke és
Tétel:Határérték és egyenlőtlenségek.
Tegyük fel, hogy az és a függvényeknek van határértéke az pontban.
Ha akkor .
Ha , akkor az pontnak egy pontozott környezetében.
Megjegyzés:
Jegyezzük meg, hogy a második állításban '' helyett nem írhatunk ''-t!
Tétel:Rendőr szabály.
Tegyük fel, hogy értelmezve van az pont egy pontozott környezetében és itt minden esetén . Ha az és függvényeknek van határértéke az pontban és ezek megegyeznek,
akkor a közbezárt függvénynek is van határértéke -ban és
Tétel:A rendőr szabály következménye, hogy nullaszor korlátos nulla, azaz ha
Tétel:Helyettesítési szabály.
Ha és esetén és , akkor
A határérték fogalmát általánosíthatjuk, erre különböző okokból lehet szükség.
A határértéket nézhetjük jobbról, például mert a vizsgált függvény nincs is értelmezve az -nál kisebb számokon, és nézhetjük balról.
Egy fizikai folyamatnál érdekes lehet a stabilitás, azaz hogy elég sok idő elteltével keveset változik-e az állapot. Ez is indokolja, hogy a végtelenben is definiáljuk a határértéket.
Tarthat a függvény véges számhoz, de tarthat valamelyik végtelenhez is, például két pontszerű tömeg gravitációs ereje, ha a távolság kicsi.
Definíció:További határérték fogalmak.
. Azt mondjuk, hogy az függvény határértéke az pontban , ha
a függvény értelmezve van az pont egy pontozott környezetében és
.Azt mondjuk, hogy az függvény határértéke az pontban , ha
a függvény értelmezve van az pont egy pontozott környezetében és
.Azt mondjuk, hogy az függvény jobb oldali határértéke az pontban , ha
a függvény értelmezve van az pont egy jobb oldali pontozott környezetében
.Azt mondjuk, hogy az függvény bal oldali határértéke az pontban , ha
a függvény értelmezve van az pont egy bal oldali pontozott környezetében és
.Azt mondjuk, hogy az függvény határértéke a -ben a valós szám, ha
a függvény értelmezve van a egy környezetében és
Hasonlóképpen definiálhatjuk azt is, hogy egy függvény határértéke a -ban jobbról vagy balról illetve a végtelenben végtelen vagy mínusz végtelen és azt is, hogy egy függvény határértéke -ben .
Tétel:Az függvénynek akkor és csak akkor van határértéke az pontban, ha itt jobbról is és balról is van határértéke és a két határérték megegyezik.
Tétel:Kritikus határértékek.
A határértékre vonatkozó műveleti szabályok legtöbbje kiterjeszthető azokra az esetekre is, amikor a függvények valamelyik végtelenbe tartanak. A kivételes eseteket, amikor nincs érvényes szabály, kritikus határértékeknek nevezzük. Pontosabban megfogalmazva (itt végtelen jelenthet
-t vagy -t is):
Végtelenszer nem nulla végtelen.
Végtelenszer végtelen végtelen (előjel szabály szerint). Végtelenszer nulla: kritikus.
Végtelen per nem nulla végtelen (előjel szabály szerint).
Véges per végtelen nulla. Végtelen per végtelen: kritikus. Nulla per nulla: kritikus.
Nem nulla per nulla: végtelen, ha a nevező nem vált előjelet, egyébként kritikus.
11.2. Folytonos függvények
Definíció:A folytonosság definíciója.
Azt mondjuk, hogy az függvény folytonos az helyen, ha
a függvény értelmezve van az pont egy környezetében, azaz
és bárhogy megadva egy pozitív számot, található egy olyan pozitív , hogy és eltérése kisebb mint ha az pont és az távolsága kisebb mint , azaz
Azt mondjuk, hogy az függvény jobbról folytonos az pontban, ha
a függvény értelmezve van az pont egy jobb oldali környezetében és minden pozitív számhoz megadható egy pozitív úgy, hogy esetén , azaz
Azt mondjuk, hogy az függvény balról folytonos az pontban, ha
a függvény értelmezve van az pont egy bal oldali környezetében és minden pozitív számhoz megadható egy pozitív úgy, hogy esetén , azaz
Tétel:Az függvény akkor és csak akkor folytonos az pontban, ha itt jobbról is és balról is folytonos.
Tétel:Határérték és folytonosság kapcsolata.
Az függvény akkor és csak akkor folytonos az pontban, ha az pontban létezik a függvény határértéke és az megegyezik az helyettesítési értékkel.
Az függvény akkor és csak akkor folytonos jobbról az pontban, ha az pontban létezik a függvény jobb oldali határértéke és az megegyezik az helyettesítési értékkel.
Az függvény akkor és csak akkor folytonos balról az pontban, ha az pontban létezik a függvény bal oldali határértéke és az megegyezik az helyettesítési értékkel.
Definíció:Szakadási pontok.
Ha egy függvény értelmezve van az pont egy pontozott környezetében, de -ban nem folytonos vagy nincs is értelmezve, akkor az pontot az függvény szakadási pontjának nevezzük.
Ha egy szakadási pontban a függvénynek mindkét oldalról van véges határértéke, akkor az -t elsőfajú szakadásnak nevezzük.
–Speciálisan ha az -nek van véges határértéke -ban (azaz a kétoldali határértékei megegyeznek és végesek) az pontot megszüntethető szakadásnak nevezzük.
A nem elsőfajú szakadási helyeket másodfajú szakadásoknak vagy (elsősorban komplex függvények esetén) lényeges szingularitásoknak nevezzük.
Tétel:Műveleti szabályok.
Folytonos függvények összege, különbsége és szorzata folytonos.
Két folytonos függvény hányadosa folytonos, ha a nevező nem nulla.
Folytonos függvények kompozíciója folytonos.
11.3. Zárt intervallumon folytonos függvények
Definíció:Azt mondjuk, hogy az függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon, ha az nyílt intervallum minden minden pontjában folytonos, -ban jobbról -ben pedig balról folytonos.
Weierstrass tétele. Zárt intervallumon folytonos függvénynek van legnagyobb értéke, azaz maximuma és van legkisebb értéke, azaz minimuma.
Bolzano tétele. Ha az függvény folytonos az zárt intervallumon, akkor a függvény és között minden értéket
felvesz.
Inverz függvény folytonossága. Zárt intervallumon folytonos és invertálható függvény értékkészlete egy zárt intervallum és ezen a függvény inverze folytonos.
Egy zárt intervallumon folytonos függvény pontosan akkor invertálható, ha szigorúan monoton, azaz szigorúan nő vagy szigorúan csökken.
Megjegyzés:
Az inverz függvény folytonosságáról szóló harmadik tételben az inverz függvény értelmezési tartománya, ami az eredeti függvény értékkészlete, a Weierstrass-tétel és a Bolzano-tétel szerint az a zárt intervallum, amelynek bal végpontja a függvény minimuma, jobb végpontja pedig a függvény maximuma.
11.4. Elemi függvények
Tétel:
A konstans függvény mindenütt folytonos.
Az függvény mindenütt folytonos.
A polinom függvények mindenütt folytonosak.
A racionális törtfüggvények (két polinom hányadosa) folytonosak ott, ahol a nevező nem nulla.
A gyökfüggvények, folytonosak ott, ahol értelmezve vannak.
Bizonyítás:
Legyen , tetszőleges. Ekkor választhatjuk a -et, hiszen
Legyen , tetszőleges. Ekkor választhatjuk a -et, hiszen
A polinomokra és a racionális törtfüggvényekre alkalmazzuk az előző két tételt és a folytonosság műveleti szabályait.
Legyen a síkban az origó körüli egységkör egy tetszőleges pontja a pont, helyvektorának szöge pedig, szigorúan radiánban mérve, . Ekkor a pont koordinátáit, mint az szög függvényeit -el jelöljük. Tehát , koszinusz a pont első koordinátája, , szinusz } pedig a második koordináta.
Bevezetjük még a tangens , és a kotangens függvényeket:
A és a függvények mindenütt folytonosak. A és függvények folytonosak mindenütt, ahol értelmezve vannak.
.
Definíció:Hatványozás, exponenciális függvény.
Legyen tetszőleges pozitív szám. Szeretnénk értelmezni tetszőleges valós szám esetén az szám (az alap) -edik (a kitevő) hatványát, azaz az függvényt.
Ha , akkor minden -re.
Ha , akkor a jelöléssel lesz a hatvány értéke.
Elég tehát az esetet megnéznünk.
A következő tulajdonságokat várjuk el az függvénytől:
Tétel:Könnyen látható, hogy már az első két tulajdonságból is következik, hogy
( tényezős szorzat), ha pozitív egész;
;
, ha pozitív egész;
, ha és egész, .
Megjegyzés:
Eszerint tehát racionális esetén egyértelműen megkaphatjuk értékét már az első két tulajdonságból, az algebrai tulajdonságokból.
Könnyen látható az is, hogy legalábbis racionális kitevők esetén a harmadik, monotonitási feltétel is teljesül.
Tétel:Az exponenciális függvény.
Adott esetén pontosan egy olyan függvény van amelyik mindenütt értelmezve van és mindhárom feltételnek eleget tesz. Ez a függvény mindenütt folytonos, értékei pozitívok és minden pozitív értéket felvesz.
Megjegyzés:
Meg kell jegyezni, hogy ha a harmadik tulajdonságot vagy a vele ekvivalens folytonosságot nem követeljük meg az exponenciális függvénytől, akkor már számtalan olyan függvény van, amelyik eleget tesz a hatványozás algebrai tulajdonságainak.
Definíció:Euler-konstans, .
Az exponenciális függvények között kitüntetett szerepet játszik az az eset, amikor az alap éppen , az Euler-konstans, azaz az függvény. Ez az szám és közé esik, egyik lehetséges definíciója pedig az, hogy az exponenciális függvények közül egyedül a függvényre teljesül a
egyenlőség.
Tétel:Az exponenciális függvények viselkedése a végtelenben.
Ha , akkor
Definíció:Hiperbolikus függvények.
Az függvény segítségével definiálhatjuk a trigonometrikus függvények analógiáit, a hiperbolikus függvényeket:
, szinusz-hiperbolikusz ;
, koszinusz-hiperbolikusz ;
, tangens-hiperbolikusz .
Az elnevezéseket a hasonló algebrai összefüggések indokolják. Ezek közül a leggyakrabban használt:
A függvény grafikonját láncgörbének is nevezik, mert ez írja le egy ideális súlyos lánc alakját a gravitációs térben.
Definíció:Logaritmus függvény.
Ha és akkor az függvény szigorúan monoton ezért invertálható. Mivel folytonos is és az értékkészlete az összes pozitív szám, definiálható az függvény inverze, az alapú logaritmus függvény. Ennek jele:
Ezek a függvények a pozitív számokon, azaz a nyílt félegyenesen vannak értelmezve.
Ha az alap éppen az Euler-konstans, akkor természetes alapú logaritmus az elnevezés, és a függvényt így jelöljük:
A tízes alapú logaritmus megszokott jele:
Megjegyzés:
Természetesen a hatványozás azonosságaiból levezethetőek a logaritmus azonosságai. Ezek közül a legfontosabb, hogy szorzat logaritmusa a logaritmusok összege, azaz
Nyomatékosan felhívom a figyelmet, hogy mint minden függvény azonosság ez is csak akkor érvényes, ha mind a két oldal értelmes! Például két negatív szám szorzatának van logaritmusa, azaz a bal oldal értelmes, míg a jobb oldal nem értelmes.
Definíció:A trigonometrikus függvények inverzei.
A függvény invertálható a intervallumon, az inverz függvény jele .
A függvény invertálható a intervallumon, az inverz függvény jele .
A függvény invertálható a intervallumon, az inverz függvény jele .
A függvény invertálható a intervallumon, az inverz függvény jele .
Tétel:Nevezetes határértékek. Az első kettő már szerepelt az elemi függvények definíciójánál.
11.5. Feladatok
Az ábrán látható függvény grafikonja alapján döntsük el, hogy léteznek-e
az alábbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket!
Az ábrán látható függvény grafikonja alapján döntsük el, hogy léteznek-e
az alábbi határértékek, és ha igen, adjuk meg ezt az értéket!
Mely állítások igazak az ábrán látható függvény grafikonja alapján?
létezik.
Az függvénynek a nyílt intervallum minden pontjában van határértéke.
Mely állítások igazak az ábrán látható függvény grafikonja alapján?
nem létezik.
nem létezik.
Az függvénynek a nyílt intervallum minden pontjában van határértéke.
Az függvénynek a nyílt intervallum minden pontjában van határértéke.
Határozzuk meg az alábbi határértékeket behelyettesítéssel!
Határozzuk meg az alábbi határértékeket a törtek egyszerűsítése után!
Bővítsük a törtet -el (a számláló gyöktelenítése).
A helyettesítést elvégezve és az előző feladat eredményét felhasználva:
Legyen egy rögzített pozitív egész szám. Számítsuk ki a következő határértékeket:
Legyen .
Ez az eredmény azt jelenti, hogy az exponenciális függvény minden polinomnál gyorsabban tart a végtelenbe.
Vezessük be a helyettesítést. Ekkor
és ezért
Eszerint tehát a logaritmus-függvény minden gyökös kifejezésnél lassabban tart a végtelenbe.
Milyen szám megadása esetén lesznek a következő függvények folytonosak a -ban?
Az függvény pontosan akkor folytonos a , ha balról is és jobbról is folytonos.
Az balról, azaz esetén megegyezik az függvénnyel, amelyik mindenütt, tehát -ban is folytonos.
Az függvény esetén megegyezik az függvénnyel, amelynek jobboldali határértéke -ban .
Ezért tehát a az függvény pontosan akkor folytonos -ban, ha
Az függvény pontosan akkor folytonos a -ban, ha itt van határértéke és az megegyezik a helyettesítési értékkel.
Így tehát a esetben lesz a függvény folytonos a -ban.
