12. Differenciálszámítás

12.1. A derivált fogalma

Definíció:
  • Érintő egyenes. Ha az függvény értelmezve az pont egy környezetében és létezik és véges a
    akkor, az előbbi határértéket -el jelölve, az meredekségű az ponton átmenő egyenest az függvény grafikonjának pontbeli érintőjének nevezzük. Az érintő egyenlete tehát
  • A derivált definíciója. Legyen az függvény értelmezve az pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az függvény deriválható az pontban és a deriváltja a valós szám, ha létezik az
    differencia-hányados határértéke -ban és az egyenlő -vel, azaz létezik a
    határérték. Ezt a értéket, az függvény deriváltját vagy differenciálhányadosát -ban -val jelöljük. Szokásos jelölés még . A differencia-hányados határértékét szokás még
    alakban felírni.
  • Deriváltfüggvény. Ha az függvény egy intervallum minden pontjában deriválható, akkor azt a függvényt, amelyik minden -hoz az deriváltat rendeli, a függvény deriváltfüggvényének nevezzük. Ennek jele illetve .
  • Magasabb rendű deriváltak. Azt mondjuk, hogy az függvény kétszer deriválható az pontban, ha deriválható egy, az pontot tartalmazó nyílt intervallum minden pontjában és a deriváltfüggvénye deriválható az -ban. Ekkor a második derivált jele és definíciója
    Általában az függvény -szor deriválható -ban, ha -szer deriválható egy környezetében és a -edik deriváltfüggvény deriválható -ban. Ekkor a -adik derivált jele és definíciója
Az alábbi ábrán az függvény szelőinek határhelyzetét, az érintőt láthatjuk az pontban.
bmkFigs/anim/difdef.gif -- not found

Tétel:Ha egy függvény deriválható -ban, akkor -ban folytonos.
Az állítás fordítva nem igaz! Az függvény -ban folytonos de -ban nem deriválható.
Tétel:Az függvénynek pontosan akkor van érintője az pontban ha -ban deriválható. Ekkor az érintő egyenlete

12.2. Deriválási szabályok

Tétel:Műveleti szabályok. Ha és deriválható -ban tetszőleges, akkor
  • deriválható -ban és
  • deriválható -ban és
  • deriválható -ban és
  • deriválható -ban ésha
Tétel:
  • Láncszabály. Ha deriválható -ban és deriválható -ban, akkor az összetett függvény deriválható -ban és
    vagy másképp írva
  • Inverz függvény deriváltja. Ha invertálható az pont egy környezetében, -ban deriválható és , akkor az inverze, deriválható a pontban és
Tétel:Elemi függvények deriváltja.
  • Konstans függvény mindenütt deriválható és deriváltja nulla.
  • , ha pozitív egész.
  • és .
  • , ha .
  • és .
  • ha és tetszőleges.
  • ha .
  • és
Tétel:L'Hospital szabály. Tegyük fel, hogy -nek és -nek van (azonos típusú) határértéke -ban (itt valamelyik végtelen is lehet) és vagy mindkét határérték vagy mindkét határérték (valamelyik) végtelen, azaz a két függvény hányadosának határértéke kritikus. Azt is tegyük fel hogy és deriválható egy környezetében. Ekkor ha létezik a
határérték, akkor létezik a
határérték is és

12.3. Függvényvizsgálat

Definíció:Lokális szélsőérték.
  • Az függvénynek a pontban lokális maximuma van, ha megadható körül egy nyílt intervallum, ahol a függvény értelmezve van és az intervallum minden pontjában , azaz
  • Ha az esetet kivéve , akkor -ben szigorú lokális maximum van.
  • Az függvénynek a pontban lokális minimuma van, ha megadható körül egy nyílt intervallum, ahol a függvény értelmezve van és az intervallum minden pontjában , azaz
  • Ha az esetet kivéve , akkor -ben szigorú lokális minimum van.
  • A lokális maximum illetve minimum közös elnevezése: lokális szélsőérték.
Tétel:Monotonitás és a derivált kapcsolata. Legyen az függvény folytonos az zárt intervallumon és deriválható az nyílt intervallumon.
A monoton csökkenésről szóló tételeket az egyenlőtlenségek megfordításával kaphatjuk meg.
Tétel:A lokális szélsőértékek és a derivált kapcsolata.
  • Ha -nek -ben lokális szélsőértéke van és itt deriválható, akkor .
  • Ha deriválható egy környezetében és és előjelet vált -ben, akkor -nek -ben lokális szélsőértéke van. Pontosabban:
    • ha előtt pozitív, után negatív, akkor -ben szigorú lokális maximum van;
    • ha előtt negatív, után pozitív, akkor -ben szigorú lokális minimum van.
  • Ha kétszer deriválható -ben és és , akkor -ben szigorú lokális maximum van.
  • Ha kétszer deriválható -ben és és , akkor -ben szigorú lokális minimum van.
Tétel:Abszolút szélsőérték. Ha az függvény folytonos az zárt intervallumon és deriválható az nyílt intervallumon, akkor abszolút maximuma vagy valamelyik végpontban (-ban vagy -ben), vagy az nyílt intervallumban van és ez utóbbi esetben itt a derivált nulla, mert egyben lokális szélsőérték (lokális maximum) is.
Hasonló mondható el a függvény abszolút minimumáról is.
Megjegyzés: Jegyezzük meg, hogy egy függvénynek lehet (abszolút) szélsőértéke úgy is, hogy a szélsőérték helyén a derivált nem nulla, tudniillik ha a szélsőérték a zárt intervallum valamelyik végpontjában van.

12.4. Feladatok

Mi a deriváltja a következő függvényeknek? Használjuk az elemi függvények deriváltjait és a deriválási szabályokat.
Írjuk fel az függvény érintőjének az egyenletét az pontban!
Keressük meg azokat a helyeket, ahol a függvény érintője párhuzamos az
tengellyel;
a egyenessel.
Határozzuk meg a következő függvények inverzének a deriváltját a megadott helyeken!
A függvény inverzét jelöli. Számoljuk ki az függvény deriváltfüggvényét!
Milyen szögben metszi az parabola az egyenest,azaz, mekkora a metszéspontban húzott érintő és az egyenes hajlásszöge?
Bizonyítsuk be, hogy az és görbék merőlegesen metszik egymást, azaz, a metszéspontokban az érintők merőlegesek.
Számoljuk ki a következő függvények második deriváltját:
A L'Hospital-szabály alkalmazásával számoljuk ki a következő határértékeket! Ellenőrizzük a szabály alkalmazásának a feltételeit!
Számoljuk ki a határértéket!

Megoldás: A L'Hospital-szabály alkalmazásával:
Mi a hiba?
Számoljuk ki a határértéket!

Megoldás: A L'Hospital-szabály alkalmazásával:
Mi a hiba?
Számoljuk ki a határértéket!

Megoldás: A L'Hospital-szabály alkalmazásával:
Ez a határérték nem létezik.

Mi a hiba?
Határozzuk meg a következő határértékeket:
Milyen intervallumokon növekszik, illetve csökken, hol van lokális szélsőértéke az függvénynek, ha deriváltja
Milyen intervallumokon növekszik, illetve csökken, hol van lokális szélsőértéke a következő függvényeknek?
Keressük meg a következő függvények lokális szélsőértékeit és határozzuk meg a típusát!
Határozzuk meg következő függvények abszolút szélsőértékeit a megadott intervallumokon!
Ábrázoljuk a következő függvényeket, azaz keressük meg monoton szakaszait, szélsőértékeit és a határértékeket az értelmezési tartomány szélein!
A területű téglalapok közül melyiknek a kerülete minimális? Mekkorák ennek az oldalai?
A egység kerületű téglalapok közül miért a négyzetnek legnagyobb a területe?
Az egyenlő szárú derékszögű háromszögbe írható téglalapok közül melyiknek a területe a legnagyobb? Na és melyiknek a kerülete a legnagyobb?
Itt beírt téglalapon olyan téglalapot értünk, amelynek két szomszédos csúcsa az átfogón, a többi csúcsa a befogókon van.
Egy téglalap egyik oldala az tengelyen fekszik, két felső csúcsa pedig az parabolán. Mikor maximális a területe egy ilyen téglalapnak?
8 x 15 dm-es kartonlapból téglalap alakú, nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a kartonlap sarkaiból egybevágó négyzeteket vágunk ki, majd felhajtjuk az oldalakat. Milyenek legyenek a doboz méretei, ha azt szeretnénk elérni, hogy a lehető legnagyobb legyen a térfogata ? Mekkora lesz a maximális térfogat?
Hozzunk létre egy háromszöget a koordináta-rendszer első síknegyedében úgy, hogy az -, illetve -tengely koordinátájú pontjait egy egység hosszú egyenes szakasszal összekötjük. Mutassuk meg, hogy a közbezárt háromszög területe akkor lesz a legnagyobb , ha .
Egy farmon az állatok számára el kell keríteni egy téglalap alakú karámot. A területet egyik oldalról folyó határolja, a másik három oldalon egyszálas vezetéket kell kifeszíteni, amelybe aztán áramot vezetnek. A rendelkezésre álló méternyi vezetékkel mekkora területet lehet elkeríteni, és milyen méretű lesz a maximális területű karám?
Egy borsóültetvény -es téglalap alakú részét be kell keríteni, majd a kerítés egyik oldalával párhuzamosan két egyenlő részre kell osztani. Mekkorák legyenek a külső téglalap oldalai, hogy a lehető legkevesebb kerítésfonatot kelljen felhasználni? Milyen hosszú kerítésre van szükség?
Az amerikai posta belföldi forgalomban csak olyan küldeményeket vesz fel, amelyek hosszának és körméretének (a keresztmetszet kerületének) összege nem haladja meg a inch-et (1 inch = 2,54 cm). Milyen méretű négyzetes hasábbal lehet elérni a legnagyobb térfogatot?
Határozzuk meg egy adott térfogatú egyenes körhenger alapkörének sugarát és magasságát úgy, hogy a henger felszíne minimális legyen!
Határozzuk meg egy adott alkotójú egyenes körkúp alapkörének sugarát és magasságát úgy, hogy a kúp térfogata maximális legyen!
Egy függőlegesen mozgó test magasságát az
függvény adja meg, ahol -t méterben, -t másodpercben mérjük. Mekkora lesz
a test sebessége a időpontban;
a legnagyobb magassága és mikor éri azt el;
a sebessége, amikor ?
Janka a parttól kilométerre egy csónakban ül, és szeretne eljutni a tőle légvonalban kilométerre lévő part menti faluba. km/h sebességgel tud evezni és km/h sebességgel gyalogolni. Hol szálljon ki a csónakból, hogy a lehető legrövidebb idő alatt érjen a faluba?
Keressük meg, mekkora gyógyszermennyiségre a legérzékenyebb a test oly módon, hogy meghatározzuk azt az értéket, amelynél a deriváltnak maximum a van, ahol a vérbe felszívódó anyag mennyisége, egy pozitív állandó és a reakció,
Két részecske helyzetét az -tengelyen az és függvények írják le.
Mekkora a részecskék legnagyobb távolsága?
Mikor ütköznek össze?