Érintő egyenes.
Ha az függvény értelmezve az pont egy környezetében és létezik és véges a
akkor, az előbbi határértéket -el jelölve, az meredekségű az ponton átmenő egyenest az függvény grafikonjának pontbeli érintőjének nevezzük. Az érintő egyenlete tehát
A derivált definíciója.
Legyen az függvény értelmezve az pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy az függvény deriválható az pontban és a deriváltja a valós szám, ha létezik az
differencia-hányados határértéke -ban és az egyenlő -vel, azaz létezik a
határérték. Ezt a értéket, az függvény deriváltját vagy differenciálhányadosát -ban -val jelöljük. Szokásos jelölés még . A differencia-hányados határértékét szokás még
alakban felírni.
Deriváltfüggvény.
Ha az függvény egy intervallum minden pontjában deriválható, akkor azt a függvényt, amelyik minden -hoz az deriváltat rendeli, a függvény deriváltfüggvényének nevezzük. Ennek jele illetve .
Magasabb rendű deriváltak.
Azt mondjuk, hogy az függvény kétszer deriválható az pontban, ha deriválható egy, az pontot tartalmazó nyílt intervallum minden pontjában és a
deriváltfüggvénye deriválható az -ban. Ekkor a második derivált jele és definíciója
Általában az függvény -szor deriválható -ban, ha -szer deriválható egy környezetében és a -edik deriváltfüggvény deriválható -ban. Ekkor a -adik derivált jele és definíciója
Az alábbi ábrán az függvény szelőinek határhelyzetét, az érintőt láthatjuk az pontban.
Tétel:Ha egy függvény deriválható -ban, akkor -ban folytonos.
Az állítás fordítva nem igaz! Az függvény -ban folytonos de -ban nem deriválható.
Tétel:Az függvénynek pontosan akkor van érintője az pontban ha -ban deriválható. Ekkor az érintő egyenlete
12.2. Deriválási szabályok
Tétel:Műveleti szabályok.
Ha és deriválható -ban tetszőleges, akkor
•
deriválható -ban és
•
deriválható -ban és
•
deriválható -ban és
•
deriválható -ban és
ha
Tétel:
Láncszabály.
Ha deriválható -ban és deriválható -ban, akkor az összetett függvény deriválható -ban és
vagy másképp írva
Inverz függvény deriváltja.
Ha invertálható az pont egy környezetében, -ban deriválható és , akkor az inverze, deriválható a pontban és
Tétel:Elemi függvények deriváltja.
Konstans függvény mindenütt deriválható és deriváltja nulla.
, ha pozitív egész.
és .
, ha .
és .
ha és tetszőleges.
ha .
és
Tétel:L'Hospital szabály.
Tegyük fel, hogy -nek és -nek van (azonos típusú) határértéke -ban (itt valamelyik végtelen is lehet) és vagy mindkét határérték vagy mindkét határérték (valamelyik) végtelen, azaz a két függvény hányadosának határértéke kritikus. Azt is tegyük fel hogy és deriválható egy környezetében. Ekkor ha létezik a
határérték, akkor létezik a
határérték is és
12.3. Függvényvizsgálat
Definíció:Lokális szélsőérték.
Az függvénynek a pontban lokális maximuma van, ha megadható körül egy nyílt intervallum, ahol a függvény értelmezve van és az intervallum minden pontjában , azaz
Ha az esetet kivéve , akkor -ben szigorú lokális maximum van.
Az függvénynek a pontban lokális minimuma van, ha megadható körül egy nyílt intervallum, ahol a függvény értelmezve van és az intervallum minden pontjában , azaz
Ha az esetet kivéve , akkor -ben szigorú lokális minimum van.
A lokális maximum illetve minimum közös elnevezése: lokális szélsőérték.
Tétel:Monotonitás és a derivált kapcsolata.
Legyen az függvény folytonos az zárt intervallumon és deriválható az nyílt intervallumon.
Ha deriválható egy környezetében és és előjelet vált -ben, akkor -nek -ben lokális szélsőértéke van. Pontosabban:
ha előtt pozitív, után negatív, akkor -ben szigorú lokális maximum van;
ha előtt negatív, után pozitív, akkor -ben szigorú lokális minimum van.
Ha kétszer deriválható -ben és és , akkor -ben szigorú lokális maximum van.
Ha kétszer deriválható -ben és és , akkor -ben szigorú lokális minimum van.
Tétel:Abszolút szélsőérték.
Ha az függvény folytonos az zárt intervallumon és deriválható az nyílt intervallumon, akkor abszolút maximuma vagy valamelyik végpontban (-ban vagy -ben), vagy az nyílt intervallumban van és ez utóbbi esetben itt a derivált nulla, mert egyben lokális szélsőérték (lokális maximum)
is.
Hasonló mondható el a függvény abszolút minimumáról is.
Megjegyzés:
Jegyezzük meg, hogy egy függvénynek lehet (abszolút) szélsőértéke úgy is, hogy a szélsőérték helyén a derivált nem nulla, tudniillik ha a szélsőérték a zárt intervallum valamelyik végpontjában van.
Első lépésként keressük meg azt az helyet, ahol a függvény értéke , azaz az inverz függvény értékét a helyen.
Ezt próbálgatással kaphatjuk: . Az inverz függvény deriváltjáról szóló képlet szerint
A függvény deriváltja és így . Tehát
Megjegyzés: Meg kell azt is vizsgálni, hogy van-e inverze az adott függvénynek.
A deriváltfüggvény vizsgálatából kiderül, hogy az egész számegyenesen nem invertálható ,
hiszen -ben lokális szigorú maximuma, -ban minimuma van, ezért nem szigorúan monoton.
Viszont az -et tartalmazó félegyenesen szigorúan monoton növő, ezért itt invertálható.
A függvény inverzét jelöli. Számoljuk ki az függvény deriváltfüggvényét!
Mivel a függvény inverze, ezért
Mivel , ezért
Milyen szögben metszi az parabola az egyenest,azaz, mekkora a metszéspontban húzott érintő és az egyenes hajlásszöge?
Bizonyítsuk be, hogy az és görbék merőlegesen metszik egymást, azaz, a metszéspontokban az érintők merőlegesek.
Keressük meg a derivált gyökeit. A egyenletből kapjuk, hogy , ezért
a függvénynek csak a -ben lehet lokális szélsőértéke.
Mivel ha és
, ha , ezért a függvénynek lokális szigorú maximuma van és itt az érték
. A függvény további vizsgálatából az is kiderül, hogy ez egyben abszolút maximuma is a függvénynek.
Legyen . Az függvénynek ott lehet abszolút szélsőértéke (maximuma vagy minimuma)
ahol a derivált nulla, vagy pedig a zárt intervallum végpontjaiban. Keressük meg a derivált gyökeit:
A két gyök:
A intervallum esetén:
Így tehát a intervallumon az függvény abszolút minimuma az pontban,
abszolút maximuma pedig az pontban van.
A intervallum esetén:
(Mivel a nem esik bele a vizsgált intervallumba, ezért az itt felvett függvényértéket nem vesszük számításba!)
Így tehát a intervallumon az függvény abszolút minimuma az pontban,
abszolút maximuma pedig az pontban van.
Ábrázoljuk a következő függvényeket, azaz keressük meg monoton szakaszait, szélsőértékeit és a határértékeket az értelmezési tartomány szélein!
A területű téglalapok közül melyiknek a kerülete minimális? Mekkorák ennek az oldalai?
A egység kerületű téglalapok közül miért a négyzetnek legnagyobb a területe?
Az egyenlő szárú derékszögű háromszögbe írható téglalapok közül melyiknek a területe a legnagyobb? Na és melyiknek a kerülete a legnagyobb?
Itt beírt téglalapon olyan téglalapot értünk, amelynek két szomszédos csúcsa az átfogón, a többi csúcsa a befogókon van.
Egy téglalap egyik oldala az tengelyen fekszik, két felső csúcsa pedig az parabolán. Mikor maximális a területe egy ilyen
téglalapnak?
8 x 15 dm-es kartonlapból téglalap alakú, nyitott dobozt készítünk úgy, hogy a kartonlap sarkaiból egybevágó négyzeteket
vágunk ki, majd felhajtjuk az oldalakat. Milyenek legyenek a doboz méretei, ha azt szeretnénk elérni, hogy a lehető legnagyobb
legyen a térfogata ? Mekkora lesz a maximális térfogat?
Hozzunk létre egy háromszöget a koordináta-rendszer első
síknegyedében úgy, hogy az -, illetve -tengely
koordinátájú pontjait egy egység hosszú egyenes szakasszal
összekötjük. Mutassuk meg, hogy a közbezárt háromszög területe akkor lesz a legnagyobb , ha .
Egy farmon az állatok számára el kell keríteni egy téglalap alakú karámot. A területet egyik oldalról folyó határolja, a másik három oldalon egyszálas vezetéket kell kifeszíteni, amelybe aztán áramot vezetnek. A rendelkezésre
álló méternyi vezetékkel mekkora területet lehet elkeríteni, és milyen méretű lesz a maximális területű karám?
Egy borsóültetvény -es
téglalap alakú részét be kell keríteni, majd a kerítés egyik oldalával párhuzamosan két egyenlő részre kell osztani.
Mekkorák legyenek a külső téglalap oldalai, hogy a lehető legkevesebb
kerítésfonatot kelljen felhasználni? Milyen hosszú kerítésre van szükség?
Az amerikai posta belföldi forgalomban csak olyan
küldeményeket vesz fel, amelyek hosszának és körméretének (a keresztmetszet kerületének) összege nem haladja meg a inch-et
(1 inch = 2,54 cm). Milyen méretű négyzetes hasábbal lehet elérni
a legnagyobb térfogatot?
Határozzuk meg egy adott térfogatú egyenes körhenger alapkörének
sugarát és magasságát úgy, hogy a henger felszíne minimális legyen!
A henger felszíne és térfogata
A térfogat képletéből fejezzük ki -et és helyettesítsük be a felszín képletébe:
Mivel az függvény a nyílt félegyenesen van értelmezve, itt végig pozitív,
-hoz közeli (kicsi) illetve -hez közeli (nagy) -ek esetén értéke nagy, ezért a keresett abszolút minimum egyben lokális minimum is. Keressük meg tehát az függvény deriváltjának a gyökeit:
Tehát az adott térfogatú egyenes körhenger felszíne akkor minimális, ha
Számoljuk ki az ehhez a sugárhoz tartozó magasságot, illetve a magasság és az átmérő arányát:
Tehát annak a hengernek a felszíne minimális, amelynek az átmérője megegyezik a magassággal!
Megjegyzés:
Annak belátása, hogy az függvénynek van abszolút minimuma még hátra van, az erről szóló fenti okoskodás semmiképp sem tekinthető bizonyításnak. Lássunk tehát egy korrekt bizonyítást:
Legyen . Mivel ,
ezért megadható egy és egy úgy, hogy illetve esetén
. A Weierstrass-tétel szerint az függvénynek van minimuma az zárt intervallumon. Az és megválasztása miatt ez a minimum az egész félegyenesen
is minimum, és mivel ez a minimum-hely nem lehet az intervallum egyik végpontja sem, ezért
ez egyben lokális minimum is. Itt tehát a derivált nulla. Ilyen hely azonban az egész félegyenesen csak egy van, tehát ez a keresett minimumhoz tartozó sugár.
Határozzuk meg egy adott alkotójú egyenes körkúp alapkörének
sugarát és magasságát úgy, hogy a kúp térfogata maximális legyen!
Egy függőlegesen mozgó test magasságát az
függvény adja meg, ahol -t méterben, -t másodpercben mérjük.
Mekkora lesz
a test sebessége a időpontban;
a legnagyobb magassága és mikor éri azt el;
a sebessége, amikor ?
Janka a parttól kilométerre egy
csónakban ül, és szeretne eljutni a tőle légvonalban kilométerre
lévő part menti faluba. km/h sebességgel tud evezni és km/h
sebességgel gyalogolni. Hol szálljon ki a csónakból, hogy a lehető legrövidebb idő alatt érjen a faluba?
Keressük meg, mekkora gyógyszermennyiségre a
legérzékenyebb a test oly módon, hogy meghatározzuk azt az
értéket, amelynél a deriváltnak maximum a van, ahol
a vérbe felszívódó anyag mennyisége, egy pozitív állandó és a reakció,
Két részecske helyzetét az -tengelyen az és függvények írják le.