Gyakori feladat, hogy meg kell határozni egy függvényt, amelynek ismerjük a deriváltját. Ilyen feladat például a fizikában amikor a pillanatnyi sebesség ismeretében akarjuk meghatározni egy test mozgását.
Definíció:
Primitív függvény.
Azt mondjuk, hogy a függvény primitív függvénye az függvénynek az intervallumon, ha deriválható -ben és minden esetén .
Határozatlan integrál.
Az függvény primitív függvényeinek összességét -szel vagy -el illetve -szel jelöljük és határozatlan integráljának nevezzük. Tehát
Tétel:
A primitív függvények csak konstansban különböznek, azaz ha és primitív függvényei az függvénynek az intervallumon,
akkor konstans (nem függ -től).
Ha primitív függvénye -nek, akkor az alakú függvények, ahol tetszőleges konstans, az függvény összes primitív függvénye, azaz
Az alábbi ábrán az függvény és az egyik primitív függvénye látható.
Megjegyzés:
Nem minden függvénynek van primitív függvénye! Könnyen látható például, hogy a előjel függvénynek egyetlen olyan intervallumon sincs primitív függvénye, amelyik tartalmazza az pontot.
Tétel:Folytonos függvénynek van primitív függvénye, pontosabban
Ha folytonos az zárt intervallumon, akkor van olyan függvény, amelyik folytonos az -n és primitív függvény -n.
Tétel:Alapintegrálok.
Tétel:Integrálási szabályok.
Műveleti szabályok.
Ha -nek és -nek van primitív függvénye, akkor -nek és -nek is van, nevezetesen
Lineáris helyettesítés.
Ha primitív függvénye -nek, akkor minden esetén
Helyettesítés hatványfüggvénybe.
Ha deriválható és mindenütt pozitív, akkor
Parciális integrálás.
Ha és deriválható és -nek van primitív függvénye, akkor -nek is, és
Integrálás helyettesítéssel.
Ha deriválható, értelmezve van értékkészletén és itt -nek van primitív függvénye, akkor
az összetett függvénynek is van primitív függvénye és
ahol az függvény egyik primitív függvénye.
14.1. Feladatok
A következő függvényeket a baloldali oszlopban, deriváltjaikat a jobboldali oszlopban ábrázoltuk. Keressük meg őket!
