Néhány, a határozott integrál fogalmára vezető probléma.
A függvénygrafikon alatti terület.
A munka értelmezése és kiszámítása.
A nyomóerő meghatározása.
Definíció:A határozott integrál definíciója.
Az intervallum egy felosztása
Az pontot a felosztás -edik osztópontjának, az intervallumot pedig a felosztás -edik részintervallumának nevezzük.
Az felosztás finomsága
Azt mondjuk, hogy az felosztás -nál finomabb, ha .
A pontok az felosztáshoz tartozó közbenső helyek, ha
Az függvény felosztáshoz és közbenső helyekhez tartozó integrál közelítő összege
Ha nem okoz félreértést, akkor a közbenső helyekre utaló jelölést elhagyhatjuk és röviden -et írunk.
Ez az összeg felel meg például annak a munka kiszámolására használt szemléletes módszernek, amikor az erőt szakaszonként konstansnak vesszük.
Riemann-integrál.
Legyen az zárt intervallumon értelmezett korlátos függvény.
Azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható (röviden integrálható) az zárt intervallumon és integrálja az szám, ha minden -hoz van olyan , hogy minden -nál finomabb felosztásra , azaz
Ezt az számot az függvény intervallumhoz tartozó határozott integráljának} vagy Riemann-integráljának nevezzük és
-el jelöljük.
Az alábbi animációban az függvény Riemann-integrálját (a függvény görbe alatti területet) és közelítő összegeit láthatjuk egyre finomabb egyenletes felosztásokon a intervallumon.
Tétel:
Legyen konstans az intervallumon. Ekkor
Legyen a Dirichlet-függvény, azaz az a függvény amelyik a racionális helyeken , az irracionális helyeken pedig . A Dirichlet-függvény egyetlen intervallumon sem integrálható.
Bizonyítás:
Legyen konstans az intervallumon. Ekkor tetszőleges felosztás esetén , és így integrálható és
Legyen a Dirichlet-függvényt. Ekkor tetszőleges intervallum felosztása esetén választhatunk csupa racionális illetve irracionális számból álló és közbenső helyeket. Ez abból a nevezetes tételből a következik, hogy minden (nyílt) intervallum tartalmaz racionális számot is és irracionális számot is. Ezekkel felírva a közelítő összegeket
Eszerint tehát a Dirichlet-függvény egyetlen intervallumon sem integrálható.
Tétel:
Ha egy függvény integrálható az intervallumon, akkor minden részintervallumon is integrálható.
Ha integrálható -n és -n is , akkor -n is és
azaz egymáshoz csatlakozó intervallumokon az integrál additív.
Minden monoton függvény függvény integrálható.
Minden folytonos függvény integrálható.
Ha egy függvény integrálható, akkor az abszolút értéke is integrálható.
Ha egy integrálható függvényt véges sok helyen megváltoztatunk, akkor integrálható marad és az integrál értéke sem változik meg.
Ha az és függvények integrálhatóak az intervallumon, pedig egy tetszőleges valós szám, akkor és is integrálható és
Megjegyzés:
A függvény abszolút értékének integrálhatósága egy speciális esete annak, hogy ha egy összetett függvény belső függvénye integrálható, a külső pedig folytonos, akkor az összetett függvény integrálható.
Van olyan függvény, amelyik nem integrálható, de az abszolút értéke igen:
Tétel:Newton-Leibniz formula.
Ha integrálható az zárt intervallumon, primitív függvénye -nek
az nyílt intervallumon és folytonos az zárt intervallumon, akkor
azaz az integrál megegyezik a primitív függvény megváltozásával.
A határozatlan és a határozott integrálról eddig mondottak szerint minden folytonos függvény integrálja kiszámítható a Newton-Leibniz formula segítségével. Persze csak akkor, ha az adott folytonos függvénynek ki tudjuk számolni a primitív
függvényeit. Sajnos könnyen előfordulhat, hogy nem így van, például az függvény ugyan folytonos, de a primitív függvénye nem elemi függvény, azaz nem fejezhető ki az eddig megismert függvények segítségével.
A primitív függvény keresésénél megismert módszerekkel (parciális integrálás, integrálás helyettesítéssel) és a Newton-Leibniz formula segítségével számoljuk ki általában a határozott integrálokat. De sok esetben az oda és vissza helyettesítés egyikétől megszabadulhatunk, ha nem csak a függvény alakítjuk át a helyettesítéses integrálban, hanem az integrál határait is.
Tétel:Integrál transzformáció.
Ha folytonos az intervallumon, folytonosan deriválható függvény és és , akkor
A fenti képlet előnye, hogy nem kell ismernünk a helyettesítő függvény inverzét, elég ha a és pontokat meghatározzuk.
Néha szigorúan csökkenő helyettesítést szeretnénk alkalmazni. Ilyenkor
és , azaz a "határok" felcserélődnek. Hogy ezt a problémát megszüntessük, újra definiáljuk a határozott integrált, ha az integrálás "alsó" határa nagyobb vagy egyenlő az integrálás "felső" határánál:
