Használjuk a polárkoordináták és a Descartes-koordináták közti összefüggést:
innen
Ebben a pontban . Ezért
A pont a negyedik síknegyedben van ( pozitív, negatív) ezért
Tehát a polárkoordináták .
Használjuk a gömbi koordináták és a térbeli Descartes-koordináták közti összefüggést:
Az adott pontban
Ezért
Tehát a térbeli Descartes-koordináták .
Adott a térben 4 pont: . Számítsuk ki az
szorzatokat!
Írjuk fel annak a térbeli egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét, amelyik átmegy a ponton, és merőleges a síkra!
Írjuk fel a sík általános egyenletét, ha a sík egy pontja és a sík normálvektora .
Az egyenes pontjának koordinátái:
Az egyenes irányvektora a sík normálisa, azaz
Tehát az egyenes paraméteres egyenletrendszere
Ha a sík egy pontja , normálvektora pedig ,
akkor az vektoregyenlet szerint
A skalárszorzásokat elvégezve megkapjuk az általános egyenletét a síknak:
Adott 3 komplex szám: , valamint . Számítsuk ki a következő kifejezések értékét! Az eredményeket mindhárom esetben algebrai alakban adjuk meg!
Melyik függvénynek van határértéke az -ban? Mennyi a határérték (ha létezik)?
Mivel , ezert az függvény folytonos a -ban:
Az függvénynek nincs határértéke -ban, mivel a számláló
nem nulla, a nevező nulla és előjelet vált:
Ha , akkor
Ezért a határérték létezik és
Határozzuk meg értékét úgy, hogy a függvény folytonos legyen -ban!
Az függvény pontosan akkor folytonos a -ban, ha a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.
Tehát pontosan akkor folytonos a -ban, ha , azaz .
Számítsuk ki a határértéket!
Itt felhasználtuk, hogy
valamint a szorzási és a helyettesítési szabályokat.
17.2. Második zárthelyi
Számoljuk ki a következő függvények deriváltját:
Keressük meg az függvény lokális szélsőértékeit és
határozzuk meg azok típusát!
Először keressük meg a derivált gyökeit:
A második derivált előjelének vizsgálatával döntsük el a szélsőérték típusát:
Tehát -ben szigorú lokális minimum, -ben pedig szigorú lokális maximum van.
Megjegyzés:A derivált szorzatra bontása után a derivált előjelének vizsgálata is célra vezet.
Számítsuk ki a határértéket!
Mivel és , ezért alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt:
Osszunk el számlálót és nevezőt a nevező nagyságrendjével, -el.
Ez már nem kritikus határérték , mivel a nevező nem tart végtelenhez (és nullához sem). Ezért
Megjegyzés:
Használhattuk volna a rendőr szabályt és egy nevezetes határértéket is. Ugyanis esetén
Számítsuk ki az
függvény elsőrendű parciális deriváltjait!
függvény iránymenti deriváltját a pontban a vektor irányában!
Először számoljuk ki a vektor irányába mutató egységvektort:
Számoljuk ki a függvény gradiensét:
Ennek értéke, ha és
Tehát az iránymenti derivált
Számítsuk ki az
határozatlan integrált!
Az első integrál alakú:
A második integrál egy lineáris helyettesítéssel kapható egy elemi integrálból:
Tehát
Megjegyzés:
Ezekben a formulákban a csak azt jelenti, hogy tetszőleges konstans, ezért a kétszerese is csak egy tetszőleges konstans.
Számítsuk ki az határozatlan integrált!
Bontsuk fel az integrandust parciális törtekre:
Az együtthatók összehasonlításával lineáris egyenletrendszert kapunk -ra és -re:
Innen
Most már kiszámolhatjuk a keresett integrált:
Számítsuk ki az határozott integrált!
Számoljuk ki először a határozatlan integrált, mégpedig a parciális integrálás módszerével:
Alkalmazzuk a Newton-Leibniz-formulát:
17.3. Tesztkérdések
Melyik állítás igaz biztosan tetszőleges pozitív szám esetén?
A (d) igaz biztosan: a számtani közép nagyobb vagy egyenlő a mértani középnél.
Megjegyzés:
Lehet egyenlőség, ha az összes szám megegyezik!
Melyik állítás igaz? Az és a vektorok skalárszorzata
A (c) igaz (a többi hamis).
Melyik állítás igaz? Az Descartes-koordinátájú pont polárkoordinátái
A (c) igaz.
Melyik állítás hamis? Minden komplex szám esetén
.
.
.
.
Az (a) hamis.
Melyik állítás igaz? Az függvény határértéke -ban
nem létezik
A (b) igaz.
Melyik állítás lehet hamis? Ha az függvény folytonos az zárt intervallumon, akkor
-nek van maximuma -n
-nek van minimuma -n
-nek van minimuma és maximuma -n
deriválható -n
A (d) lehet hamis.
Melyik állítás hamis?
Az (a) hamis.
Melyik állítás igaz biztosan? Ha deriválható -ban, akkor
A (b) igaz, ez a derivált definíciója.
Melyik állítás igaz tetszőleges mindenütt deriválható függvény esetén?
Ha , akkor -nek -ban lokális maximuma vagy minimuma van.
Ha -nek -ban lokális minimuma van, akkor .
Ha , akkor -nek -ban nincs lokális szélsőértéke.
Ha -nek -ban lokális maximuma van, akkor .
A (b) állítás igaz, a többi (lehet) hamis.
Melyik állítás igaz? Ha , akkor
A (b) igaz.
Melyik állítás hamis?
Az (a) hamis.
Melyik állítás igaz?
A (c) igaz.
Melyik állítás igaz? =
A (c) igaz.
17.4. Vizsgakérdések
Mondja ki a mértani és a harmonikus közepek definícióit, és a köztük levő egyenlőtlenségeket!
Ha pozitív számok, akkor a mértani vagy geometriai közepük:
harmonikus közepük pedig
Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha mindegyik megegyezik.
Írja fel a síkbeli egyenesek normálvektoros és irányvektoros egyenleteit.
Ha egy, az egyenesre merőleges nem nulla vektor, a normálvektor, egy, az egyenessel párhuzamos nem nulla vektor, az irányvektor,
az egyenes egy rögzített pontja pedig az egyenes tetszőleges pontja, akkor a normálvektoros egyenlet:
az irányvektoros pedig
Írja fel a vektoriális szorzat definícióját és tulajdonságait!
Ha és két vektor a térben, akkor vektoriális szorzatuk az a vektor, amelyre
, itt a közbezárt szög,
merőleges az és vektorokra,
az vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak.
A vektoriális szorzat jele: .
A vektoriális szorzat tulajdonságai.
, antikommutatív,
, disztributív,
, a skalár szorzó kiemelhető.
Az vektoriális szorzat hossza a két vektor által kifeszített paralelogramma területe.
Két vektor pontosan akkor párhuzamos, ha vektoriális szorzatuk nulla.
Az helyvektorú térbeli pontok pontosan akkor vannak rajta egy egyenesen, más szóval kollineárisak,ha .
A vektoriális szorzat kiszámolása koordinátákkal:
ha , akkor
A vektoriális szorzat kiszámolása szimbolikus determinánssal:
ha , akkor
Írja fel a ponton átmenő, a vektorra merőleges sík általános egyenletét!
Ha a sík merőleges a vektorra, akkor ez a vektor a sík normálisa,
, egy rögzített pontja pedig . A sík vektoregyenlete
azaz
Elvégezve a skalárszorzást, megkapjuk az általános egyenletet:
Legyen . Számítsa ki a komplex kifejezés algebrai alakját!
Mit jelent, hogy az függvény folytonos az pontban?
Az függvény folytonos a pontban, ha
Mondja ki a L'Hospital szabályt!
L'Hospital szabály:
Tegyük fel, hogy -nek és -nek van (azonos típusú) határértéke -ban (itt valamelyik végtelen is lehet) és vagy mindkét határérték vagy mindkét határérték (valamelyik) végtelen, azaz a két függvény hányadosának határértéke kritikus. Azt is tegyük fel hogy és deriválható egy környezetében. Ekkor ha létezik a
határérték, akkor létezik a
határérték is és
Mi a primitív függvény definíciója? Mi a határozatlan integrál definíciója?
Primitív függvény.
Azt mondjuk, hogy a függvény primitív függvénye az függvénynek az intervallumon, ha deriválható -ben és minden esetén .
Határozatlan integrál.
Az függvény primitív függvényeinek összességét -szel vagy -el illetve -szel jelöljük és határozatlan integráljának nevezzük. Tehát
Mondja ki a Newton-Leibniz tételt!
Newton-Leibniz formula.
Ha integrálható az zárt intervallumon, primitív függvénye -nek
az nyílt intervallumon és folytonos az zárt intervallumon, akkor
azaz az integrál megegyezik a primitív függvény megváltozásával.
