Egy ilyen számot az halmaz felső korlátjának nevezünk. Nyilvánvaló, hogy ha felső korlát, akkor miden -nál nagyobb szám is felső korlát.
Az halmaz alulról korlátos, ha van olyan , hogy
Egy ilyen számot az halmaz alsó korlátjának nevezünk. Nyilvánvaló, hogy ha alsó korlát, akkor miden -nál kisebb szám is alsó korlát.
Az halmaz korlátos, ha van olyan , hogy
Ez pontosan akkor teljesül, ha alulról is és felülről is korlátos.
Tétel:Teljességi tétel.
Ha az halmaz nem üres és felülről korlátos, akkor az halmaznak van legkisebb felső korlátja. Ezt a számot -val jelöljük és az halmaz szuprémumának nevezzük.
Ha az halmaz nem üres és alulról korlátos, akkor az halmaznak van legnagyobb alsó korlátja. Ezt a számot -val jelöljük és az halmaz infimumának nevezzük.
19.2. Konvergens és divergens sorozatok
Ha egy valós függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza
(illetve általánosabban annak egy végtelen része),
akkor a függvényt sorozatnak nevezzük. A sorozat hagyományos
jelölésénél nem használunk zárójelet az értékek megadásánál,
hanem indexbe írjuk a változót. Így beszélhetünk az stb.
sorozatokról. Tehát az
sorozat az a függvény, amelyik minden pozitív egész számhoz a szám reciprokát
rendeli.
Az sorozat esetén az természetes számhoz rendelt valós számot a
sorozat . tagjának nevezzük.
Definíció:A konvergencia definíciója.
Azt mondjuk, hogy az sorozat konvergál az valós számhoz,
ha bármely pozitív szám esetén megadható egy
(-tól függő) küszöbindex úgy,
hogy bármely esetén és eltérése, kisebb mint
. Logikai jelekkel:
Tétel:
Az sorozat akkor és csak akkor konvergál az számhoz, ha bármely
pozitív szám esetén a sorozatnak csak véges sok tagja van messzebb -tól mint , azaz
A határérték egyértelmű, azaz ha és , akkor .
Definíció:Divergens sorozatok.
Ha egy sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat divergens. A divergens sorozatokat tovább osztályozhatjuk.
Azt mondjuk, hogy az sorozat (plusz) végtelenbe tart
(divergál), jelekkel leírva ,
ha minden pozitív irányú félegyenes véges kivétellel minden tagját tartalmazza a
sorozatnak, azaz
Azt mondjuk, hogy az sorozat mínusz végtelenbe tart
(divergál), jelekkel leírva ,
ha minden negatív irányú félegyenes véges kivétellel minden tagját tartalmazza a
sorozatnak, azaz
Ha egy sorozat divergens, de nem tart egyik végtelenhez sem, akkor a sorozat
oszcillálva divergens.
19.3. A konvergencia tulajdonságai.
Tétel:Műveleti szabályok.
Két konvergens sorozat összege konvergens és az összeg sorozat határértéke
a határértékek összege. Azaz
ha és , akkor
Ha az sorozat konvergál és tetszőleges konstans (valós szám),
akkor a sorozat konvergál a határérték konstans-szorosához, azaz
ha és , akkor
Két konvergens sorozat szorzata konvergens és a szorzat sorozat határértéke a
határértékek szorzata. Azaz
ha és , akkor
Konvergens sorozat reciproka tart a határérték reciprokához, feltéve, hogy a
sorozat tagjai és a határérték egyike sem nulla.
Ebből és a szorzatszabályból kiolvasható a hányadosokra vonatkozó szabály:
ha és , akkor
Ha az sorozat konvergens és , pedig egy tetszőleges
nem nulla egész szám, akkor
Ha az sorozat konvergens és , pedig egy tetszőleges
nem nulla egész szám, akkor
Tétel:Sorozatok összehasonlítása.
Ha minden elég nagy -re , akkor .
Ha , akkor minden elég nagy -re .
Tétel:Rendőr szabály.
Ha , és három sorozat, amelyekre
akkor a sorozat konvergál és .
Azaz ha két, ugyanoda konvergáló (tartó) sorozat közrefog egy harmadikat, akkor
az is tart ugyanoda, ahova a másik kettő.
Megjegyzés:
A fenti szabályok legtöbbje kiterjeszthető azokra az esetekre is, amikor a
sorozatok végtelenbe tartanak.
A kivételes eseteket, amikor nincs érvényes szabály, kritikus
határértékeknek nevezzük.
Tétel:Kritikus határértékek. Itt végtelen jelenthet -t vagy -t is:
Végtelenszer nem nulla végtelen.
Végtelenszer végtelen végtelen (előjel szabály szerint). Végtelenszer nulla: kritikus.
Végtelen per nem nulla végtelen (előjel szabály szerint).
Véges per végtelen nulla. Végtelen per végtelen: kritikus. Nulla per nulla: kritikus.
Nem nulla per nulla: végtelen, ha a nevező nem vált előjelet, egyébként kritikus.
Megjegyzés:
A fenti tétel a függvények kritikus határértékeiről szóló tétel megfelelője sorozatok esetén. A két tétel azonossága
nem véletlen. A függvények határértékeinek definíciói visszavezethetők a sorozatok határértékeire az úgynevezett átviteli elv segítségével.
Definíció:Monoton sorozatok.
Korlátos sorozat.
Azt mondjuk, hogy az sorozat korlátos, ha van olyan
(pozitív) valós szám, hogy a sorozat minden tagjára
Az sorozat monoton növekedő, ha tetszőleges esetén
, azaz a nagyobb indexű tag nem kisebb a kisebb indexű tagnál.
Az sorozat szigorúan monoton növekedő, ha tetszőleges esetén , azaz a nagyobb indexű tag nagyobb a kisebb indexű tagnál.
Az sorozat monoton csökkenő, ha tetszőleges esetén
,
Az sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha tetszőleges esetén ,
Az sorozat monoton, ha monoton nő vagy monoton csökken.
Tétel:Monoton sorozat határértéke.
Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.
Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Általánosabban: minden monoton sorozatnak van határértéke (nem oszcillál), mégpedig
konvergál ha korlátos,
plusz végtelenhez tart, ha monoton növekedő és nem korlátos,
mínusz végtelenhez tart, ha monoton csökkenő és nem korlátos.
Tétel:
Az sorozat monoton növekedő és korlátos,
tehát konvergens.
Definíció:Euler konstans ().
Az előző sorozat határértékét -vel ( Euler konstans) jelöljük.
Értéke és között van, közelítőleg
Mivel a matematikai analízisben, fizikában igen gyakran fordul elő az alapú
hatványozás, az függvény inverzének, az alapú logaritmusnak külön
jele és elnevezése van:
, a természetes alapú logaritmus. A matematikában szokás még
-el is jelölni.
Tétel:Néhány nevezetes sorozat határértéke.
, ha .
.
Ha tetszőleges rögzített (n-től nem függő) pozitív egész és ,
akkor .
Belátjuk, hogy . Nyilvánvaló, hogy a alsó korlátja -nak, hiszen minden eleme pozitív. Be kell látni, hogy a legnagyobb alsó korlát, azaz ha tetszőleges pozitív szám, akkor nem alsó korlátja az halmaznak. Ehhez minden -hoz meg kell adnunk az halmaz egy elemét úgy, hogy .
Legyen tehát tetszőleges. Válasszuk az és természetes számokat:
és választása miatt és így
és persze .
Lássuk be, hogy .
Be kell látni, hogy tetszőleges számhoz található megfelelő küszöbindex. Legyen tehát tetszőleges pozitív szám.
Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét:
A sorozat számlálója is és nevezője is -hez tart. Osszuk el a számlálót is és a nevezőt is a nevező nagyságrendjével, -el:
Itt az új számláló és nevező -hez tart a konvergens sorozatok műveleti szabályai szerint. Ezért
A nevezetes sorozatok határértékeiről szóló állítás szerint és . A műveleti szabályok szerint az egyenlőtlenség jobb oldala -hez tart. Ezért alkalmazható a rendőr szabály, és így
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat monoton növekedő és felülről korlátos!
1) Monotonitás: Alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget az
számokra (összesen darab számra).
Mindkét oldalt -edik hatványra emelve
2) Felső korlát: Alkalmazzuk a számtani-mértani közép egyenlőtlenséget az