19. Számsorozatok konvergenciája

19.1. Korlátos halmazok

Definíció:
  • Az halmaz felülről korlátos, ha van olyan , hogy
    Egy ilyen számot az halmaz felső korlátjának nevezünk. Nyilvánvaló, hogy ha felső korlát, akkor miden -nál nagyobb szám is felső korlát.
  • Az halmaz alulról korlátos, ha van olyan , hogy
    Egy ilyen számot az halmaz alsó korlátjának nevezünk. Nyilvánvaló, hogy ha alsó korlát, akkor miden -nál kisebb szám is alsó korlát.
  • Az halmaz korlátos, ha van olyan , hogy
    Ez pontosan akkor teljesül, ha alulról is és felülről is korlátos.
Tétel:Teljességi tétel.
  • Ha az halmaz nem üres és felülről korlátos, akkor az halmaznak van legkisebb felső korlátja. Ezt a számot -val jelöljük és az halmaz szuprémumának nevezzük.
  • Ha az halmaz nem üres és alulról korlátos, akkor az halmaznak van legnagyobb alsó korlátja. Ezt a számot -val jelöljük és az halmaz infimumának nevezzük.

19.2. Konvergens és divergens sorozatok

Ha egy valós függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (illetve általánosabban annak egy végtelen része), akkor a függvényt sorozatnak nevezzük. A sorozat hagyományos jelölésénél nem használunk zárójelet az értékek megadásánál, hanem indexbe írjuk a változót. Így beszélhetünk az stb. sorozatokról. Tehát az
sorozat az a függvény, amelyik minden pozitív egész számhoz a szám reciprokát rendeli.
Az sorozat esetén az természetes számhoz rendelt valós számot a sorozat . tagjának nevezzük.
Definíció: A konvergencia definíciója. Azt mondjuk, hogy az sorozat konvergál az valós számhoz, ha bármely pozitív szám esetén megadható egy (-tól függő) küszöbindex úgy, hogy bármely esetén és eltérése, kisebb mint . Logikai jelekkel:
Tétel:
  • Az sorozat akkor és csak akkor konvergál az számhoz, ha bármely pozitív szám esetén a sorozatnak csak véges sok tagja van messzebb -tól mint , azaz
    éé
  • A határérték egyértelmű, azaz ha és , akkor .
Definíció:Divergens sorozatok.
  • Ha egy sorozat nem konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a sorozat divergens. A divergens sorozatokat tovább osztályozhatjuk.
  • Azt mondjuk, hogy az sorozat (plusz) végtelenbe tart (divergál), jelekkel leírva , ha minden pozitív irányú félegyenes véges kivétellel minden tagját tartalmazza a sorozatnak, azaz
  • Azt mondjuk, hogy az sorozat mínusz végtelenbe tart (divergál), jelekkel leírva , ha minden negatív irányú félegyenes véges kivétellel minden tagját tartalmazza a sorozatnak, azaz
  • Ha egy sorozat divergens, de nem tart egyik végtelenhez sem, akkor a sorozat oszcillálva divergens.

19.3. A konvergencia tulajdonságai.

Tétel:Műveleti szabályok.
  • Két konvergens sorozat összege konvergens és az összeg sorozat határértéke a határértékek összege. Azaz ha és , akkor
  • Ha az sorozat konvergál és tetszőleges konstans (valós szám), akkor a sorozat konvergál a határérték konstans-szorosához, azaz ha és , akkor
  • Két konvergens sorozat szorzata konvergens és a szorzat sorozat határértéke a határértékek szorzata. Azaz ha és , akkor
  • Konvergens sorozat reciproka tart a határérték reciprokához, feltéve, hogy a sorozat tagjai és a határérték egyike sem nulla. Ebből és a szorzatszabályból kiolvasható a hányadosokra vonatkozó szabály: ha és , akkor
  • Ha az sorozat konvergens és , pedig egy tetszőleges nem nulla egész szám, akkor
  • Ha az sorozat konvergens és , pedig egy tetszőleges nem nulla egész szám, akkor
Tétel:Sorozatok összehasonlítása.
  • Ha minden elég nagy -re , akkor .
  • Ha , akkor minden elég nagy -re .
Tétel:Rendőr szabály. Ha , és három sorozat, amelyekre
éé
akkor a sorozat konvergál és .
Azaz ha két, ugyanoda konvergáló (tartó) sorozat közrefog egy harmadikat, akkor az is tart ugyanoda, ahova a másik kettő.
Megjegyzés: A fenti szabályok legtöbbje kiterjeszthető azokra az esetekre is, amikor a sorozatok végtelenbe tartanak. A kivételes eseteket, amikor nincs érvényes szabály, kritikus határértékeknek nevezzük.
Tétel:Kritikus határértékek. Itt végtelen jelenthet -t vagy -t is:
  • Végtelen véges végtelen.
    Végtelen azonos előjelű végtelen végtelen.
    Végtelen ellenkező előjelű végtelen: kritikus.
  • Végtelenszer nem nulla végtelen.
    Végtelenszer végtelen végtelen (előjel szabály szerint).
    Végtelenszer nulla: kritikus.
  • Végtelen per nem nulla végtelen (előjel szabály szerint).
    Véges per végtelen nulla.
    Végtelen per végtelen: kritikus.
    Nulla per nulla: kritikus.
    Nem nulla per nulla: végtelen, ha a nevező nem vált előjelet, egyébként kritikus.
A kritikus esetekben a határérték műveleti szabályait nem lehet alkalmazni.
Megjegyzés: A fenti tétel a függvények kritikus határértékeiről szóló tétel megfelelője sorozatok esetén. A két tétel azonossága nem véletlen. A függvények határértékeinek definíciói visszavezethetők a sorozatok határértékeire az úgynevezett átviteli elv segítségével.
Definíció:Monoton sorozatok.
  • Korlátos sorozat. Azt mondjuk, hogy az sorozat korlátos, ha van olyan (pozitív) valós szám, hogy a sorozat minden tagjára
  • Az sorozat monoton növekedő, ha tetszőleges esetén , azaz a nagyobb indexű tag nem kisebb a kisebb indexű tagnál.
  • Az sorozat szigorúan monoton növekedő, ha tetszőleges esetén , azaz a nagyobb indexű tag nagyobb a kisebb indexű tagnál.
  • Az sorozat monoton csökkenő, ha tetszőleges esetén ,
  • Az sorozat szigorúan monoton csökkenő, ha tetszőleges esetén ,
  • Az sorozat monoton, ha monoton nő vagy monoton csökken.
Tétel:Monoton sorozat határértéke.
  • Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos.
  • Minden monoton és korlátos sorozat konvergens. Általánosabban: minden monoton sorozatnak van határértéke (nem oszcillál), mégpedig
    • konvergál ha korlátos,
    • plusz végtelenhez tart, ha monoton növekedő és nem korlátos,
    • mínusz végtelenhez tart, ha monoton csökkenő és nem korlátos.
Tétel: Az sorozat monoton növekedő és korlátos, tehát konvergens.
Definíció:Euler konstans (). Az előző sorozat határértékét -vel ( Euler konstans) jelöljük. Értéke és között van, közelítőleg
Mivel a matematikai analízisben, fizikában igen gyakran fordul elő az alapú hatványozás, az függvény inverzének, az alapú logaritmusnak külön jele és elnevezése van: , a természetes alapú logaritmus. A matematikában szokás még -el is jelölni.
Tétel:Néhány nevezetes sorozat határértéke.
  • á
  • , ha .
  • .
  • Ha tetszőleges rögzített (n-től nem függő) pozitív egész és , akkor .
  • .

19.4. Feladatok

Legyen . Számoljuk ki az halmaz infimumát.
Lássuk be, hogy .
Konvergensek-e a következő sorozatok? Tartanak-e valamelyik végtelenbe?
Számoljuk ki az alábbi sorozatok határértékét:
Igaz-e, hogy
két divergens sorozat összege divergens?
egy konvergens és egy divergens sorozat összege divergens?
két divergens sorozat szorzata divergens?
egy konvergens és egy divergens sorozat szorzata divergens?
Igaz-e, hogy
ha egy korlátos sorozat konvergens, akkor monoton?
ha egy korlátos sorozat monoton, akkor konvergens?
ha egy sorozat végtelenbe tart, akkor monoton?
ha egy sorozat monoton növő, akkor vagy konvergens vagy végtelenbe tart?
Legyen . Melyik állítás igaz?
Megadható olyan szám, hogy esetén .
Megadható olyan szám, hogy esetén .
Az sorozat tart -hez.
Határozzuk meg a következő sorozatok határértékét:
Bizonyítsuk be, hogy a sorozat monoton növekedő és felülről korlátos!