A halmaz alapfogalom, nem definiáljuk. Talán úgy tudjuk körülírni, hogy valamilyen dolgok összessége.
Egy halmazt az elemei határoznak meg. Az elemek benne vannak a
halmazban. Jelölés: , azaz az elem benne van az halmazban.
Annak a jelölése, hogy a elem nincs benne az halmazban: .
Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemi.
Az üres halmaz az a halmaz, amelyiknek nincs eleme. Ennek a halmaznak a jele: .
Azt mondjuk, hogy részhalmaza -nak, ha minden eleme -nak is eleme. Jelölés: . Eszerint minden halmazra
.
.
Példák halmazokra:
A természetes számok halmaza,
jele .
A természetes szám!
A pozitív egész számok halmaza,
jele .
Az egész számok halmaza,
jele .
A racionális számok halmaza,
jele .
A valós számok halmaza,
jele .
Megjegyzés:Nem szabad összekeverni a halmaz elemét a halmaz részhalmazával. Például , mert minden nemnegatív egész szám racionális is, de , mert elemei a racionális számok, és nem egy darab racionális szám, hanem (végtelen) sok egész szám.
Definíció:Halmazműveletek. Ha és két halmaz, akkor és
uniója vagy egyesítése az a halmaz, amelyik azokat az elemeket tartalmazza, amelyek és közül legalább az egyikben benne vannak. Jelölés: . Tehát
metszete vagy közös része az a halmaz, amelyik azokat az elemeket tartalmazza, amelyek -ban is, és -ben is benne vannak. Jelölés: . Tehát
különbsége az a halmaz, amelyik azokat az elemeket tartalmazza, amelyek -ba benne vannak, de -ben nem. Jelölés: . Tehát
Az és halmazokat diszjunktaknak nevezzük, ha a metszetük az üres halmaz, azaz ha .
Legyen egy rögzített halmaz, és legyen . Ekkor az halmaz -ra vonatkozó komplementere az halmaz.
Tétel:A de Morgan-féle azonosságok:
A halmazokat és a halmaz műveleteket Venn-diagrammal lehet szemléltetni.
Azonosságok: és tetszőleges halmaz.
Ha és , akkor .
(1)
2.1. Feladatok
2.1.1. Bevezető feladatok
Igaz-e, hogy
,
,
,
,
?
?
Igaz-e tetszőleges és halmazokra, hogy
,
,
,
?
Legyenek halmazok. Írjuk fel és a halmazműveletek
segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például
, az alábbi halmazokat!
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan
egyben vannak benne.
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan
háromban vannak benne.
Bizonyítsuk be a De Morgan azonosságokat:
2.1.2. Gyakorló feladatok
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges halmazokra
Kétoldali tartalmazást bizonyítunk, azaz belátjuk, hogy
Legyen tetszőleges. Ekkor és .
Ha , akkor .
Ha pedig , akkor .
Ezzel beláttuk, hogy
Legyen most tetszőleges. Ekkor
vagy . Ha , akkor , és , és így . Hasonlóan, ha , akkor , és , és így . Ezzel beláttuk, hogy
Igaz-e tetszőleges és halmazokra, hogy
ha és , akkor .
Igaz. Legyen tetszőleges. Mivel , ezért . És mivel
, ezért .
ha és , akkor .
Igaz, ez éppen a részhalmaz definíciója.
ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
Megjegyzés:Ne keverjük össze a kivonást a halmazok különbségével!
Annyi viszont igaz, hogy ha , akkor
ha , akkor .
Nem igaz, például ha , akkor és .
Megjegyzés: ne keverjük össze a metszetet az unióval. Az állítás az unióra igaz:
ha , akkor .
Legyenek , és halmazok. Írjuk fel és a halmazműveletek
segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például
, az alábbi halmazokat!
Azon elemek halmaza, amelyek -ban benne vannak, de
-ben és -ben nincsenek benne.
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan
kettőben vannak benne.