2. Halmazok

A halmaz alapfogalom, nem definiáljuk. Talán úgy tudjuk körülírni, hogy valamilyen dolgok összessége.
Egy halmazt az elemei határoznak meg. Az elemek benne vannak a halmazban. Jelölés: , azaz az elem benne van az halmazban. Annak a jelölése, hogy a elem nincs benne az halmazban: .
Példák halmazokra:
   A természetes számok halmaza,jele .A természetes szám!
   A pozitív egész számok halmaza,jele .
   Az egész számok halmaza,jele .
   A racionális számok halmaza,jele .
   A valós számok halmaza,jele .
Megjegyzés:Nem szabad összekeverni a halmaz elemét a halmaz részhalmazával. Például , mert minden nemnegatív egész szám racionális is, de , mert elemei a racionális számok, és nem egy darab racionális szám, hanem (végtelen) sok egész szám.
Definíció:Halmazműveletek. Ha és két halmaz, akkor és
Tétel:A de Morgan-féle azonosságok:
A halmazokat és a halmaz műveleteket Venn-diagrammal lehet szemléltetni.
bmkFigs/j_venn1.svg -- not found

bmkFigs/j_venn2.svg -- not found

bmkFigs/j_venn3.svg -- not found

bmkFigs/j_venn4.svg -- not found

Azonosságok: és tetszőleges halmaz.

2.1. Feladatok

2.1.1. Bevezető feladatok

Igaz-e, hogy
,
,
,
,
?
?
Igaz-e tetszőleges és halmazokra, hogy
,
,
,
?
Legyenek halmazok. Írjuk fel és a halmazműveletek segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például , az alábbi halmazokat!
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan egyben vannak benne.
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan háromban vannak benne.
Bizonyítsuk be a De Morgan azonosságokat:
é

2.1.2. Gyakorló feladatok

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges halmazokra
Igaz-e tetszőleges és halmazokra, hogy
ha és , akkor .
ha és , akkor .
ha , akkor .
ha , akkor .
ha , akkor .
Legyenek , és halmazok. Írjuk fel és a halmazműveletek segítségével, azaz olyan jellegű formulával, mint például , az alábbi halmazokat!
Azon elemek halmaza, amelyek -ban benne vannak, de -ben és -ben nincsenek benne.
Azon elemek halmaza, amelyek , és közül pontosan kettőben vannak benne.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges halmazokra .