Gyakran szükség van arra, hogy végtelen sok függvény összegét
próbáljuk meghatározni. Így kapjuk a függvénysor fogalmát.
Definíció:Függvénysor konvergenciája.
Ha függvények egy végtelen sorozata, akkor
a függvénysor -edik részletösszege.
Ha függvények egy végtelen sorozata, akkor azt mondjuk, hogy a
függvénysor (pontonként) konvergál a
halmazon és összege az függvény,
ha minden esetén azaz a végtelen sor konvergens és összege . Ennek jele
A függvénysor konvergencia tartománya
azon pontok halmaza, ahol a függvénysor konvergens.
A függvénysor abszolút konvergens a halmazon, ha
konvergens -n.
A függvénysor egyenletesen konvergál a halmazon az függvényhez, ha
azaz minden pozitív -hoz -től függetlenül adható meg egy küszöbindex.
Tétel:Az egyenletes konvergencia tulajdonságai.
Folytonosság. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sora folytonos.
Deriválhatóság. Ha minden esetén deriválható az intervallumon, pontonként konvergál az függvényhez az -n, pedig egyenletesen konvergál az -n, akkor deriválható az -n és
azaz lehet tagonként deriválni.
Integrálhatóság. Ha minden esetén integrálható az
intervallumon és egyenletesen konvergál az függvényhez az -n, akkor integrálható az -n és
Tétel:Weierstrass-kritérium. Ha van olyan sorozat, hogy minden és esetén és a numerikus sor konvergens, akkor a függvénysor egyenletesen konvergens -n.
Egy ilyen sorozatot numerikus majoránsnak nevezünk.
Ha egy függvénysornak van numerikus majoránsa a halmazon és minden függvénynek van itt maximuma, , akkor a
sor is numerikus majoráns. Mivel deriválható függvények esetén vannak módszereink a maximum megkeresésére, legalább is intervallum esetén, így a legelterjedtebb módszer numerikus majoráns segítségével megállapítani az egyenletes konvergenciát az, hogy megnézzük, konvergens-e a sor.
Meg kell jegyezni azonban, hogy egy függvénysor úgy is lehet egyenletesen
konvergens egy függvénysor, hogy nincs numerikus majoráns sora. Ilyen sorra példa a
sor a félegyenesen.
21.2. Hatványsorok
Definíció:
A alakú függvénysort középpontú hatványsornak nevezzük.
Konvergencia sugár. Az számot a hatványsor konvergencia sugarának nevezzük.
Ha a fenti halmaz felülről nem korlátos, akkor .
A konvergenciatartomány belseje a nyílt intervallum, ha
véges, illetve , ha .
Tétel:Hatványsor konvergencia tartománya.
A hatványsor esetén abszolút konvergens, esetén pedig divergens. Tehát a konvergencia tartomány egy intervallum, amelyik az esetleges végpontokat kivéve szimmetrikus a hatványsor középpontjára, -re.
A konvergenciatartomány belsejébe eső minden zárt intervallumon egyenletes a konvergencia.
A hatványsor deriváltja.
Ha , akkor deriválható a
konvergenciatartomány belsejében és
azaz hatványsort tagonként lehet deriválni. A derivált sor konvergenciasugara
megegyezik az eredeti hatványsor konvergenciasugarával.
A hatványsor integrálja.
Ha , akkor -nek van primitív
függvénye a konvergenciatartomány belsejében
és (az egyiket) megkaphatjuk a hatványsor tagonkénti integrálásával:
Az így kapott integrál sor konvergenciasugara megegyezik az eredeti hatványsor
konvergenciasugarával.
Példák a konvergenciatartományra.
A hatványsor konvergenciatartománya a
intervallum, konvergenciasugara .
A hatványsor konvergenciatartománya a
intervallum, konvergenciasugara ,
a konvergenciatartomány belseje pedig a nyílt intervallum.
A hatványsor konvergenciatartománya a intervallum, konvergenciasugara ,
a konvergenciatartomány belseje pedig a nyílt intervallum.
A hatványsor konvergenciatartománya
, konvergenciasugara ,
a konvergenciatartomány belseje pedig szintén .
A hatványsor konvergenciatartománya
, konvergenciasugara , a konvergenciatartomány belseje pedig , az üres halmaz.
Ha az függvény -szer deriválható a pontban akkor kereshetjük azt a
legkisebb fokszámú polinomot,
amelynek első deriváltja a pontban megegyezik az függvény megfelelő
deriváltjaival.
Itt a -adik deriválton a függvény helyettesítési értékét értjük. esetén
ez a polinom -beli érintő lesz:
Definíció:Taylor-polinom.
Ha az függvény -szer deriválható a pontban akkor a
-ed fokú polinomot az függvény pontbeli -edik Taylor-polinomjának nevezzük.
Tétel:
az egyetlen legfeljebb -edfokú polinom, amelynek az első
deriváltja a pontban megegyezik az függvény megfelelő deriváltjaival.
Tétel:Taylor-formula Lagrange-féle maradékkal.
Legyen az függvény -szer deriválható a intervallumon. Ekkor van
olyan szám, amelyre
Ha az függvény -szer deriválható a intervallumon, akkor van
olyan szám, amelyre
a fenti egyenlőség teljesül.
A Taylor-formulában szereplő
Lagrange-féle maradék sok függvény esetén alkalmas arra, hogy
megbecsüljük a függvény és a Taylor-polinom eltérését.
21.4. Taylor sor
Definíció:Taylor-sor.
Ha az függvény akárhányszor deriválható a pontban, akkor a
hatványsort az függvény pontbeli Taylor-sorának nevezzük, a fenti sorban szereplő
együtthatókat pedig Taylor-együtthatóknak.
Természetes kérdés, hogy milyen feltételek mellett igaz, hogy a Taylor-sor
előállítja a függvényt,
legalább is a pont egy környezetében. Azt is meg kell vizsgálni, hogy egy
függvényt hogyan lehet hatványsor összegeként előállítani.
Az alábbi ábrákon az , az és az függvények közelítéseit láthatjuk Taylor-polinomok segítségével.
Figyeljük meg, hogy az függvénynek még a kilencedik Taylor-polinomja is
jelentősen elválik a függvénytől az pont környéken. Ennek oka, hogy az függvény Taylor-sora divergens minden -nél nagyobb számra. Viszont ez a sor -ben még konvergens, ezért a Taylor-polinom itt is jól közelít.
Tétel:A hatványsor előállítás egyértelmű. Ha
teljesül a pont egy környezetében, azaz a konvergenciasugár nem nulla, akkor
az függvény akárhányszor deriválható a pontban és a
hatványsor megegyezik a Taylor-sorral, azaz minden esetén
Megjegyzés:
A fenti tétel szerint egy függvényt csak a Taylor-sora tudja hatványsorban
előállítani.
De fordítva nem igaz, hogy a Taylor-sor biztosan előállítja a függvényt.
Lehet hogy a Taylor-sor csak -ben konvergens, de az is, hogy mindenütt
konvergens, de csak -ben lesz az összeg az függvény értéke. Ez utóbbi
esetre mutat példát a következő tétel.
Tétel:
Legyen
Ekkor az függvény akárhányszor deriválható és a -ban minden deriváltja
nulla. Így tehát a -hoz tartozó Taylor sor az azonosan nulla függvényt állítja elő, viszont ha .
Tétel:Egyformán korlátos deriváltú függvény Taylor-sora.
Ha az intervallumon az függvény akárhányszor deriválható és
megadható egy szám úgy, hogy tetszőleges és esetén ,
akkor minden esetén a -hez tartozó Taylor-sor előállítja a
függvényt az intervallumon.
Ebből a tételből azonnal következik, hogy az
függvényeket mindenütt előállítja a -hoz tartozó Taylor-soruk.
Mivel páratlan függvény, ezért a negyedik deriváltja a -ban . Tehát a fenti polinom egyben a negyedik Taylor-polinom is, .
A fonálinga mozgását leíró törvényben a függvényt az függvénnyel közelítik.
Mekkora lesz legfeljebb az elkövetett hiba, ha a kitérés szöge legfeljebb radián?
Hány tagot vegyünk figyelembe Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy esetén
a hiba legfeljebb legyen?
Hány tagot vegyünk figyelembe Taylor-sorából, ha azt akarjuk, hogy
esetén a hiba legfeljebb legyen?
