Térgörbe.
Legyen egy zárt intervallum. Egy típusú leképezést térgörbének nevezünk. A leképezés független változóját a "paramétert" általában -vel jelöljük. Az görbe koordinátafüggvényeit jelöli. Tehát
Az térgörbe esetén a görbe kezdőpontja, pedig a végpontja.
Zárt görbe.
Azt mondjuk, hogy az görbe zárt, ha , azaz a görbe kezdőpontja megegyezik a görbe végpontjával.
Egyszerű görbe.
Az görbe egyszerű, ha az nyílt intervallumon egy-egy értelmű.
Definíció:
Azt mondjuk, hogy az térgörbe folytonos, ha minden koordinátafüggvénye folytonos.
A görbe deriválható a pontban, ha itt deriválható. Ekkor az deriváltját
jelöli.
Az térgörbe pontjában húzott érintő az az egyenes, amelyik átmegy az ponton és iránya megegyezik az
vektor irányával. Tehát
Az irányú egységvektort tangenciális egységvektornak nevezzük. Ezt ott értelmezzük, ahol a derivált nem a nullvektor. Tehát
Megjegyzés:
A következő ábrán a közönséges csavarvonalat látjuk. Ez egy olyan pont mozgását írja le, amelyik egyenletesen forog a tengely körül és közben állandó sebességgel emelkedik,
Definíció:
Beírt poligon.
Legyen egy térgörbe, pedig az intervallum egy felosztása.
Azt a térbeli poligont (egymáshoz csatlakozó szakaszok sorozata), amelynek csúcsai sorrendben az pontok, az felosztáshoz tartozó beírt poligonnak nevezzük. A
poligon hossza az oldalak (szakaszok) hosszának az összege:
Ívhossz.
Az térgörbe ívhossza az a legkisebb szám amelyik minden beírt poligon hosszánál nagyobb vagy egyenlő. Ha ilyen nincs, azaz a poligonok hossza (felülről) nem korlátos, akkor az ívhossz végtelen.
Az térgörbe rektifikálható, ha az ívhossz véges.
Tétel:Ívhossz kiszámolása.
Tegyük fel, hogy az térgörbe folytonosan deriválható (ennél valamivel gyengébb feltétel is elég lenne). Ekkor a görbe rektifikálható és
25.2. Síkgörbék
Definíció:Síkgörbe.
Legyen egy zárt intervallum. Egy típusú leképezést síkgörbének nevezünk.
Az görbe koordinátafüggvényeit jelöli. Tehát
Megjegyzés:
A folytonosság, derivált, ívhossz értelemszerűen átvihető síkgörbére is. Így például egy folytonosan deriválható görbe ívhossza:
Külön megvizsgáljuk azt az esetet, amikor egy síkgörbe valójában egy függvény grafikonja. Most a paramétert -el jelölve az grafikonját a síkban a
görbe írja le.
Tétel:
Az folytonosan deriválható függvény grafikonjának ívhossza
Megjegyzés:
Az előzőekben definiált tér és síkgörbék nem fedik pontosan azt a geometriai fogalmat, amelyet elvárunk. Tekintsük például az origó középpontú (síkbeli) egységkört. Ezt a görbét megadhatjuk az
leképezés segítségével. De például ugyanezt a kört kapjuk a
leképezés esetén is.
Más szóval ugyanazt a görbét különböző leképezések segítségével is megadhatjuk. Ez azt jelenti, hogy szükség lenne a szobajövő leképezések osztályozására aszerint, hogy ugyanazt a görbét adják-e meg. Ennek az osztályozásnak a definíciója és vizsgálata túl megy ennek az előadásnak
a keretein.
25.3. Felületek
Definíció:
Felület.
Legyen egy "egyszerű" síkidom (ez a gyakorlatban körlapot vagy téglalapot jelent). Egy típusú leképezést felületnek nevezzük. A leképezés független változóit a "paramétereket" általában és jelöli. A felület koordinátafüggvényei az - értelmezett kétváltozós
függvények. Tehát
Azt mondjuk, hogy az felület folytonos, ha minden koordinátafüggvénye folytonos mint kétváltozós függvény.
Ha a koordinátafüggvények parciálisan deriválhatóak, akkor az felület parciálisan deriválható és
Használjuk még a valamivel tömörebb
jelöléseket.
Az felület pontjára illeszkedő, az és vektorok által kifeszített síkot az felület pontjában húzott érintősíknak nevezzük. Ennek a
síknak a normálisa az un. felületi normális az
Tehát az érintősík egyenlete az
vektoregyenlet, ahol az érintősík egy tetszőleges pontjának a helyvektora.
Megjegyzés:
A következő ábra az Arkhimédeszi csavarfelületet ábrázolja. Ferdén megdöntve és megforgatva vízemelésre használták már az ókorban is. A felület egyenlete:
Definíció:Felszín.
Legyen egy felület a térben. Az ívhossz mintájára szeretnénk definiálni a felület egy mérőszámát a felszínt.
A térben három pont mindig meghatároz egy háromszöglapot, amelynek területe az oldalvektorokkal leírva
A beírt poligonok mintájára bevezetjük a beírt poliéder fogalmát: ez olyan
poliéder, amelynek lapjai háromszögek, csúcsai pedig a felületen helyezkednek el.
Az beírt poliéder felszíne, , a poliédert alkotó háromszögek területeinek összege.
Így tehát az felület felszíne az a legkisebb szám, amelyik nagyobb vagy egyenlő minden beírt poliéder felszínénél.
Megjegyzés:
Meg kell azonban jegyeznünk, hogy ez a definíció nem korrekt. H. Schwarz híres példájában egy egyszerű körhengerpalást esetében is található beírt poliédereknek egy olyan sorozata, amelyre . Ebben a sorozatban a problémát az okozza, hogy a háromszögek szögei között akármilyen kicsi szög,
azaz akármilyen "lapos" háromszög is előfordul. Ha ezt a lehetőséget kizárjuk (aminek pontos megfogalmazása bonyolult), eljuthatunk a felszín korrekt definíciójához.
Tétel:Felszín kiszámolása.
Ha az felület folytonosan deriválható, akkor a felületnek van (véges) felszíne és
Függvénygrafikon felszíne.
Tekintsünk egy kétváltozós folytonosan deriválható függvényt. A függvény grafikonját a háromdimenziós térben az
felület írja le. Így a függvény grafikonjának a felszíne:
25.4. Skalármező
Definíció:
A skalármező definíciója.
Legyen . Egy típusú leképezést skalártérnek illetve skalármezőnek nevezünk. A skalármező független változóját -el jelöljük, így a felvet értéket jelöli. De egy skalármező
tekinthető egyszerűen egy háromváltozós függvénynek is és így
alakban is írhatjuk.
A skalármező folytonossága nem új fogalom, ha mint háromváltozós függvényt tekintjük. De azért ismételjük meg itt is a definíciót:
Az skalármező folytonos az pontban, ha
Az skalármező parciális deriváltjai a megfelelő háromváltozós függvény parciális deriváltjai:
Természetesen a parciális deriváltakat jelölhetjük módon is.
Az skalármező gradiense a parciális deriváltakból álló vektor:
Skalármező például az egységnyi elektrosztatikai töltés potenciáltere:
Ennek a skalártérnek a gradiense:
Definíció:Kétváltozós skalármező.
Egy leképezést kétváltozós skalármezőnek nevezzük, ha
egy síkidom. A folytonosság és a parciális deriváltak fogalma természetes módon adódik. Viszont a parciális deriváltakból álló síkvektort nem szokás gradiensnek nevezni!
25.5. Vektormező
Definíció:A vektormező definíciója.
Legyen . Egy leképezést vektormezőnek nevezünk. A független változót általában jelöli, vektormező értékét az pontban pedig . Ha a vektormező koordinátafüggvényeit jelöli, akkor:
Ha tér pontjaihoz az egységnyi töltés által keltett térerősséget rendeljük, megkapjuk az elektrosztatikus teret:
Ennek koordináta függvényei:
Definíció:
Nyílt halmaz.
Egy halmazról azt mondjuk, hogy nyílt halmaz, ha minden pontjára igaz, hogy egy egész környezete is része -nek, azaz
A továbbiakban, ha mást nem mondunk, mindig feltesszük, hogy a szereplő vektormezőknek és skalármezőknek az értelmezési tartománya nyílt halmaz.
Tenzor.
A homogén lineáris vektormezőket tenzoroknak nevezzük. Tehát az leképezés tenzor, ha bármely vektor és skalár esetén
Az tenzor egyértelműen azonosítható egy -as mátrixszal.
Vektormező folytonossága.
A vektormező folytonos az pontban, ha koordinátafüggvényei mint háromváltozós függvények folytonosak az pontban.
Derivált tenzor.
Tegyük fel, hogy a vektormező értelmezett az pont egy egész környezetében. Azt mondjuk, hogy a vektormező deriváltja létezik az pontban és ez az deriválttenzor illetve a megfelelő deriváltmátrix, ha
A deriválttenzor fenti definíciója azt mondja ki, hogy akkor deriválható a vektornmező az pontban, ha megadható egy olyan mátrix, amelyre a
lineáris kifejezés "jól" közelíti a vektormezőt az pontban. Ez annak felel meg, mint amikor az egyváltozós függvény deriváltját az érintő egyenes meredekségével definiáljuk.
Tétel:
Ha a vektormező deriválható az pontban, akkor itt folytonos.
A deriválttenzor kiszámolása.
Ha deriválható az pontban és a deriváltmátrixa , akkor a koordinátafüggvények parciális deriváltjai léteznek az pontban és
azaz az mátrix soraiban a megfelelő koordinátafüggvények parciális deriváltjai állnak.
Ha a vektormező koordinátafüggvényei folytonosan deriválhatóak az pontban, akkor deriválható -ban.
Megjegyzés:
A derivált létezéséhez nem elég a parciális deriváltak létezése! Azért, mert a koordinátafüggvények parciális deriváltjai léteznek, még nem biztos, hogy a vektormező deriválható, sőt még az se biztos, hogy folytonos.
25.6. Divergencia, rotáció
Definíció:
Divergencia.
Ha egy áramló folyadékba belemártunk egy "pici" testet, akkor megmérhetjük a test felületén beáramló illetve kiáramló
folyadék mennyiségét. Ez a két érték általában egyensúlyban van, azaz az összegük nulla. De például ha a test belsejében
egy forrás vagy egy nyelő (pl. kádlefolyó) van, akkor lehet az egyenleg pozitív illetve negatív. Ha a áramlási
tér egy adott pontja köré teszünk egyre kisebb térfogatú és felszínű testet, akkor a mért értékek
határértékeként megkapjuk a vektormező divergenciáját a pontban és -vel
jelöljük. Ezt a fizikában a vektormező forráserősség-sűrűségének nevezik.
Rotáció.
Ha a szilárd testet hagyjuk mozogni, pontosabban forogni az áramlás örvénylésének hatására, akkor ezt a forgást
jellemezhetjük egy vektorral: a vektor iránya a forgástengely iránya, hossza pedig a szögsebesség.
Ha most egy adott pontra húzódó testeket tekintünk, akkor határértékként megkapjuk a vektormező
rotációját a pontban és -vel jelöljük. Ezt a fizikában a vektormező örvényerősség-sűrűségének nevezik.
Tétel:
A divergencia kiszámolása.
Ha a vektormező folytonosan deriválható, akkor
azaz a deriváltmátrix főátlójában szereplő elemek összege, a mátrix nyoma.
A rotáció kiszámolása.
Ha a vektormező folytonosan deriválható, akkor
25.7. Nabla és Laplace operator
Definíció:
Nabla vektor.
A jellel egy un. vektoroperátort a nabla operátort jelölünk. Nevét egy föníciai eredetű húros hangszerről kapta. Ezt szimbolikus vektorként írhatjuk fel:
Ha vektorműveletek során az egyik koordinátája mellé egy háromváltozós függvény kerül "szorzóként", akkor azon a helyen a megfelelő parciális deriváltat értjük. A nabla vektor segítségével könnyen megjegyezhető és jól használható formulákat kapunk.
Laplace-operator.
A operátort Laplace-operátornak nevezzük és -val jelöljük. Tehát ha egy skalármező,
akkor
Tétel:A nabla vektor használata.
Gradiens.
Ha egy deriválható skalártér, akkor
a vektornak az skalárral való szorzata.
Divergencia, rotáció.
Ha egy folytonosan deriválható vektortér, akkor
Tehát a divergencia a és a vektorok skaláris szorzata, a rotáció pedig ezek vektoriális szorzata.
Ha kétszer folytonosan deriválható skalármező, akkor
Ha kétszer folytonosan deriválható vektormező (azaz a koordinátafüggvények kétszer folytonosan deriválhatóak), akkor
