3. A valós számok.

A matematika majdnem mindegyik része használja a valós számok fogalmát. Ennek ismeretét már többé kevésbé a gimnáziumban is megkövetelték. De, hogy a valós számok pontosan micsodák, azt nem magyarázták el. De nem csak a számok fogalmával vagyunk így. Azt sem tanuljuk meg a középiskolában, hogy a geometriában mi az a pont és az egyenes.
Más szóval hiányzik az oktatásból a valós számok illetve a pont és egyenes definíciója. Ez persze nem véletlen, ezek úgy nevezet nem definiált alapfogalmak. Definiálhatnánk ugyan őket más alapfogalmak segítségével, de a végén eljutnánk a halmazelmélet alapfogalmaihoz, ami viszont túlságosan absztrakt és kényelmetlen megoldás lenne.
A valós számok esetén eljárhatnánk úgy is, hogy a számfogalmat bővítjük , kiindulva a pozitív egész számokból, amelyeket nem definiálunk. Ezekből már felépíthető az egész számfogalom: először a nulla és a negatív egészek, azaz az egész számok, majd a törtszámok illetve a racionális számok. Az általános iskolai tananyag nagyjából így vezeti be a számok fogalmát. Majd valamikor a középiskolában kiderül, hogy például a nem racionális szám. Azt viszont nem magyarázzák el, hogy miért van olyan pozitív szám. aminek a négyzete éppen kettő! Persze mondhatjuk, hogy egy megfelelő négyzet átlójának ennyi a hossza, de ez csak azt jelenti, hogy szükség van a számfogalom kiterjesztésére úgy, hogy már legyen .
Ebben a fejezetben a valós számokat a tulajdonságaik alapján, azaz axiómák segítségével határozzuk meg. Az axióma olyan állítás, amit nem bizonyítunk, de igaznak fogadunk el.
A valós számok halmaza , aminek van két (különböző) kitüntetett eleme, a és . Van két művelet, az összeadás, () és a szorzás, (), valamint egy úgynevezett reláció, a rendezés, ().
Az axiómák a műveleti szabályok és a rendezési szabályok, és még két axióma. A műveleti szabályokat test axiómáknak hívjuk.
Test axiómák. Itt , és tetszőleges valós számot jelöl.
  Az összeadás axiómái.
  T1.,az összeadás kommutatív.
  T2., az összeadás asszociatív.
  T3., a az additív egységelem.
  T4.Minden -hoz van olyan , hogy , az additív inverz.
  A szorzás axiómái.
  T5.,a szorzás kommutatív.
  T6., a szorzás asszociatív.
  T7., a a multiplikatív egységelem.
  T8.Minden -hoz van olyan , hogy , a multiplikatív inverz, vagy reciprok.
  A tagonkénti szorzás.
  T9., disztributív szabály.
A test axiómák segítségével definiáljuk a kivonást vagy különbséget és az osztást vagy hányadost.
Csak a számolási szabályok (test axiómák) még nem azonosítják a valós számokat. Például ha egy prímszám, akkor
a maradékos összeadással és szorzással egy véges test, azaz teljesül az összes test axióma.
Rendezési axiómák. Itt , és tetszőleges valós számot jelöl.
  R1.Ha és , akkor ,a rendezés tranzitív.
  R2.Az közül pontosan az egyik teljesül, a rendezés trichotóm.
  R3.Ha , akkor egyenlőtlenséghez tetszőleges számot hozzá lehet adni.
  R4.Ha és , akkor , az egyenlőtlenséget pozitív számmal lehet szorozni.
Megjegyzés: Az helyett írhatunk -t is, ugyanazt jelentik.
Az összeadásról szóló rendezési axióma úgy is megfogalmazható, hogy egyenlőtlenségeket össze lehet adni, azaz
é
A rendezési axiómák segítségével definiáljuk a határozatlan egyenlőtlenséget és az abszolútértéket.
é
Még mindig nem vagyunk készen, mert a racionális számok a szokásos műveletekkel és rendezéssel rendezett testet alkotnak (teljesülnek a test és rendezési axiómák), de gyököt vonni még nem lehet.
Arkhimédészi axióma: Minden valós számnál van nagyobb természetes szám.
Cantor-axióma: Ha egymásba skatulyázott zárt intervallumok egy sorozata, azaz
akkor van olyan valós szám, amelyik mindegy intervallumnak eleme, azaz minden esetén
Megjegyzés:Látható, hogy a racionális számok halmaza még az Arkhimédészi axiómát is teljesíti, ezért a legbonyolultabban megfogalmazható Cantor-axiómára is szükség van.
Lássunk néhány egyszerű állítást, amelynek bizonyítása csak az axiómákat használja.
Tétel:Ha és két tetszőleges valós szám, akkor
  (a).
  (b).
  (c).
  (d) a háromszög egyenlőtlenség.
Definíció: Legyen egy tetszőleges halmaz. Azt mondjuk, hogy felülről korlátos, ha van olyan szám, amelyre minden esetén . Egy ilyen számot az halmaz felső korlátjának nevezünk.
Legyen egy tetszőleges halmaz. Azt mondjuk, hogy alulról korlátos, ha van olyan szám, amelyre minden esetén . Egy ilyen számot az halmaz alsó korlátjának nevezünk.
Megjegyzés: Nyilvánvaló, hogy egy felülről korlátos halmaznak nem csak egy felső korlátja van: ha felső korlát, akkor bármely is az. Viszont van egy kitüntetett felső korlát, legalább is nem üres halmazok esetén. Hasonlóan, ha alsó korlát, akkor minden kisebb szám is alsó korlát.
Teljességi tétel.
Ha tetszőleges nem üres, felülről korlátos részhalmaza a valós számoknak, akkor -nak van legkisebb felső korlátja, szuprémuma. Ezt a legkisebb felső korlátot -val jelöljük.
Ha tetszőleges nem üres, alulról korlátos részhalmaza a valós számoknak, akkor -nak van legnagyobb alsó korlátja, infimuma. Ezt a legnagyobb alsó korlátot -val jelöljük.
Megjegyzés: Ennek a tételnek a bizonyítása elég bonyolult és használja mind az Arkhimédészi axiómát, mind a Cantor-axiómát. Olyannyira összefügg velük, hogy mindkét axiómát kiválthatja, azaz a teljességi tétellel és a rendezett test axiómáival bebizonyítható mind a két axióma. Ha ezt az utat választjuk, akkor teljességi axiómának nevezzük a fenti állítást.
Definíció:
Egy nem üres halmaz maximuma (legnagyobb eleme) , ha és felső korlátja -nak. Ha ilyen szám van, akkor ezt a számot -val jelöljük.
Egy nem üres halmaz minimuma (legkisebb eleme) , ha és alsó korlátja -nak. Ha ilyen szám van, akkor ezt a számot -val jelöljük.
Megjegyzés: Ne keverjük össze a maximum és a szuprémum fogalmát! Például a nyílt intervallumnak a szuprémuma , de nincs maximuma! Egy nem üres, felülről korlátos halmaznak akkor van maximuma, ha , és ekkor .
Lássuk végre a létezésének a bizonyítását. Ez korántsem egyszerű.
Tétel: Van olyan pozitív szám, amelyre .

3.1. Feladatok

3.1.1. Bevezető feladatok

Bizonyítsuk be, hogy a
halmaz a -vel vett műveletekkel testet alkot,
halmaz a -mal vett műveletekkel testet alkot,
A halmaz a -gyel vett műveletekkel nem alkot testet!
Bizonyítsuk be az axiómák alapján, hogy az valós számokra igaz, hogy
ha , akkor ,
ha és pozitív, és , akkor .
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges valós számokra
.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges valós számokra igaz, hogy
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív valós számhoz van olyan pozitív egész , amelyre teljesül, hogy .
Bizonyítsuk be az Archimédeszi axiómából, hogy !
Bizonyítsuk be, hogy bármely két különböző valós szám között van irracionális szám!
Szemléltessük a következő számhalmazokat számegyenesen! Döntsük el, hogy melyik intervallum, és melyik nem az! Az intervallumok esetében döntsük el, hogy melyik zárt, melyik nyílt, és melyik se nem zárt, se nem nyílt!
Legyen és .
Melyik állítás igaz, ha vagy ?
Határozzuk meg a következő intervallumsorozatok metszetét! (Például rajz segítségével sejtsük meg a metszetet! Ha a sejtés szerint a metszet , akkor bizonyítsuk be, hogy esetén teljesül, hogy , továbbá ha akkor . ( Itt és pozitív egész számok.)
Melyik állítás igaz? (A választ mindig indokoljuk!)
Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok zártak.
Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor az intervallumok nyíltak.
Egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont.
Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nyílt.
Ha egy egymásba skatulyázott intervallumsorozat metszete üres, akkor van az intervallumok között nem zárt.
Ha egy zárt intervallumsorozat metszete nem üres, akkor az intervallumok egymásba vannak skatulyázva.
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete egyetlen pont?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete nem üres?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete üres?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi intervallum (nem csak egy pont)?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi intervallum?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, zárt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?
Lehet-e egy egymásba skatulyázott, nyílt intervallumsorozat metszete valódi nyílt intervallum?
A valós számok axiómái közül melyek teljesülnek és melyek nem a racionális számok halmazára (a szokásos műveletekkel és rendezéssel)?
Ellenőrizzük, hogy a Cantor-axióma állítása nem marad igaz, ha bármelyik feltételét elhagyjuk!
Döntsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy van-e legkisebb, illetve legnagyobb elemük?
Döntsük el az alábbi halmazokról, hogy alulról korlátosak-e, felülről korlátosak-e, korlátosak-e, és hogy van-e legkisebb illetve legnagyobb elemük?
prímszámok halmaza
pozitív számok halmaza
Határozzuk meg a következő halmazok minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát, ha vannak!
Legyen a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mi a következő állítások logikai kapcsolata?
alulról nem korlátos.
-nak nincs legkisebb eleme.
.
.
Adjunk példát olyan nem üres valós számhalmazra, amelyik korlátos, de nincs legkisebb eleme!
Adjunk példát olyan nem üres valós számhalmazra, amelyik korlátos, de nincs legnagyobb eleme!
Tegyük fel, hogy a halmaz nem üres. Mi a következő állítások logikai kapcsolata, azaz melyikből következik a másik?
P: -nak nincs minimuma.
Q:
Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik?
P: Az halmaz véges (azaz véges sok eleme van).
Q: Az halmaz korlátos.
Írjuk fel logikai jelekkel az alábbi állításokat!
Az halmaz korlátos.
Az halmaz alulról nem korlátos.
Egy számhalmaznak hány maximuma, illetve hány felső korlátja lehet?
Mi a kapcsolat az alábbi két állítás között, azaz melyikből következik a másik?
P: Az halmaznak van legkisebb eleme.
Q: Az halmaz alulról korlátos.
Határozzuk meg a következő halmazok minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát, ha vannak!
Tudjuk, hogy -nak nincs -nél kisebb felső korlátja. Következik-e ebből, hogy

3.1.2. Gyakorló feladatok

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges valós számokra igaz, hogy
Legyen a valós számok egy nem üres részhalmaza. Mit jelentenek a következő állítások?
Van-e olyan számsorozat, amelyre az halmaz korlátos, de nincs se maximuma, se minimuma?
Írjuk fel logikai jelekkel a következő állítást: Az halmaznak nincs legkisebb eleme.
Határozzuk meg a következő halmazok minimumát, maximumát, infimumát és szuprémumát, ha vannak!
Tudjuk, hogy felső korlátja -nak. Következik-e ebből, hogy