Egyenes megadása normálissal.
Egy, az egyenesre merőleges vektort az egyenes normálisának nevezünk.
Az ponton átmenő normálvektorú egyenes egyenlete:
Tehát az általános egyenletben szereplő éppen egy normálvektort határoz meg.
Egyenes vektoregyenlete.
ahol az egyenes egy tetszőleges normálisa.
Ha az egyenes irányvektora (az egyenessel párhuzamos irányú vektor) , akkor az egyenes egy normálvektora .
Egyenes meghatározása iránytangenssel.
Ha az egyenes nem párhuzamos az -tengellyel, akkor az egyenlete
alakban írható, ahol az egyenes iránytangense, azaz az egyenes és az -tengely által bezárt szög tangense, pedig az egyenes által az -tengelyből kimetszett szakasz előjeles hossza.
Az -tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete.
Ha az egyenes az -tengelyt -ben metszi és párhuzamos az -tengellyel, akkor egyenlete:
Két ponton átmenő egyenes egyenlete.
Ha és egy egyenes két különböző pontja és , azaz az egyenes nem párhuzamos az -tengellyel, akkor egyenlete
Tengelymetszetes alak.
Ha az egyenes egyik koordináta tengellyel sem párhuzamos, akkor egyenlete
alakban írható, ahol az -tengellyel, pedig az -tengellyel való metszet előjeles hossza.
Tétel:A térbeli egyenesek egyenletei.
Egyenes paraméteres egyenletrendszere.
A ponton átmenő irányvektorú (az egyenessel párhuzamos irányú vektor) térbeli egyenes paraméteres alakja:
Itt tetszőleges valós szám, a paraméter.
Egyenes paraméteres vektoregyenlete.
Vektor alakban, ha jelöli az egyenes egy tetszőleges pontját, pedig a pont helyvektora, akkor
Egyenes egyenletrendszere.
Ha az számok közül egyik sem nulla, azaz egyik koordinátasíkkal sem párhuzamos, akkor az egyenes egyenletrendszere:
Tétel:A síkok egyenletei.
A sík általános egyenlete.
Itt és nem lehet egyszerre nulla, azaz
A sík vektoregyenlete.
Ha a sík egy pontjának helyvektora , egy normálisa (a síkra merőleges nem nulla vektor) pedig , akkor a sík vektoregyenlete:
Tehát az általános egyenletben szereplő éppen egy normálvektort határoz meg.
Megjegyzés:
Az egyenes illetve a sík normálvektorral megadott vektoregyenletei formálisan azonosak, de az egyik a sík vektorai, a másik a tér vektorai között ad meg egy összefüggést!
7.1. Feladatok
Írjuk fel az egyenesek egyenleteit. az egyenes egy pontja, az egyenes normálvektora, az egyenes irányvektora.
A egyenes egy normálisa a vektor. Mivel a keresett egyenes merőleges az adott egyenesre, ezért egy irányvektora. De így az egyenes normálisa a vektor. Tehát az egyenlete , azaz
