Definíció:Három ismeretlenes lineáris egyenletrendszer definíciója.
Az ismeretlenekre felírt
egyenletrendszert három ismeretlenes lineáris egyenletrendszernek nevezünk. Itt az adott valós számok. Az számokat az ismeretlenek együtthatóinak nevezzük.
Az (a,b,c) számhármas a fenti egyenletrendszer egy megoldása, ha rendre helyébe az számot, helyébe a -t, helyébe pedig -t írva azonosságot kapunk.
Például, ha a három egyenlet három sík általános egyenletét adja meg,
akkor az egyenletrendszer megoldásai azoknak a pontoknak a koordinátáit adják meg amelyek mind a három síkban benne
vannak.
Egy ilyen egyenletrendszernek lehet pontosan egy megoldása (három általános helyzetű sík), végtelen sok megoldása (például egy egyenes minden pontja), de lehet, hogy egy megoldás sincs (például ha két sík párhuzamos a három közül).
Tétel:Az egyenletrendszer megoldásai nem változnak, ha
két sort felcserélünk,
az egyik egyenlet mindkét oldalát egy nem nulla számmal beszorzunk,
az egyik egyenlet egy konstans-szorosát egy másikhoz hozzáadunk.
Tétel:Gauss elimináció.
Az előzőleg felsorolt lépések egymásutáni alkalmazásával minden oszlopban egy kivételével kiejthetjük az oszlopban szereplő ismeretlent. Így végül a következő, az eredetivel ekvivalens egyenletrendszert kaphatjuk:
Az eljárás során, amit Gauss-eliminációnak nevezünk, az is feltehető, hogy az számok mindegyike vagy , vagy . Most már könnyen megkaphatjuk az egyenletrendszer összes megoldását:
Ha , akkor egyértelműen kifejezhető a harmadik egyenletből.
Ha és , akkor a ismeretlen értéke tetszőleges lehet.
Ha és , akkor az egyenletrendszer ellentmondásos, nincs megoldás.
Ha nem az utolsó eset következett be, akkor az első két egyenletet átrendezve, helyébe egy lehetséges értéket írva, az
kétismeretlenes egyenletrendszert kapjuk. Az előzőekhez hasonlóan, most az ismeretlent kaphatjuk meg, vagy ellentmondásra jutunk a második egyenletből.
Végül már csak egy egyenlet marad, ha eddig nem volt ellentmondásos egyenlet (bal oldal nulla, jobb oldal nem nulla):
Ennek megoldása már nem okozhat gondot.
8.2. Determinánsok
Definíció:Az -ed rendű determináns darab, négyzet alakban elrendezett számhoz rendel egyetlen számot. Jelölése:
Itt az számokat a determináns főátlójának nevezzük.
Megjegyzés: A sok lehetséges hozzárendelés közül azt az egyet nevezzük determinánsnak, amelyre a következő tétel összes állítása teljesül. Annak belátása, hogy ez egyértelművé teszi a determináns definícióját, túl megy ennek a jegyzetnek a keretein.
Tétel:A determináns tulajdonságai.
Ha a determináns egy sorát egy számmal megszorozzuk, értéke is ezzel a számmal szorzódig.
– Speciális esetként, ha a determináns egy sorának minden eleme , akkor értéke is .
Ha a determináns két sorát felcseréljük, az értéke -szeresére változik.
A determináns értéke nem változik, ha egyik sorához hozzáadjuk valamely másik sor szám-szorosát.
A determináns értéke nem változik, ha a főátlóra tükrözzük az elemeit. Eszerint
– minden szabály amit sorokra mondtunk ki érvényben marad oszlopokra is.
Ha a determináns főátlója alatt csupa áll azaz ha
, akkor a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzata, .
Mi egyelőre csak a másod és harmadrendű determinánsokkal foglalkozunk. Jegyezzük meg azért, hogy az elsőrendű determináns egyszerűen az az egyetlen szám, ami az -es táblázatban szerepel.
Tétel:A determináns kiszámolása.
Másodrendű determináns kiszámolása:
Harmadrendű determináns kiszámolása:
Definíció:Egyenletrendszer determinánsai.
Vizsgáljuk meg újra az
három ismeretlenes lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszer együtthatóiból képzett
harmadrendű determinánst az egyenletrendszer determinánsának nevezzük. Még három determinánst kaphatunk, mégpedig úgy, hogy egy-egy oszlopát kicseréljük az egyenletrendszer jobb oldalán álló számokkal. Tehát
Tétel:Cramer-szabály.
A Cramer-szabály szerint a fenti egyenletnek pontosan akkor van egy és csak egy megoldása, ha , mégpedig
Megjegyzés:
Jegyezzük meg, hogy a Gauss-elimináció lényegesen kevesebb számolást igényel, mint a négy determináns kiszámolása!
Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a másodikból és az első egyenlet háromszorosát a harmadikból,
azaz az első egyenlet segítségével ejtsük ki az változót a másik kettőből:
Adjuk hozzá a harmadik egyenlethez a második egyenlet hétszeresét:
A harmadik egyenletből kapjuk, hogy . Ezt behelyettesítve az első két egyenletbe és átrendezve:
A második egyenlet szerint . Ezt behelyettesítve az első egyenletbe és átrendezve:
Tehát az egyenletrendszer (egyetlen) megoldása:
Vonjuk ki az első egyenlet kétszeresét a másodikból és az első egyenlet háromszorosát a harmadikból,
azaz az első egyenlet segítségével ejtsük ki az változót a másik kettőből:
Adjuk hozzá a harmadik egyenlethez a második egyenlet hétszeresét:
Eszerint a változó értéke tetszőleges lehet. A második egyenlet szerint:
Szeretnénk elérni, hogy a determináns második oszlopa az első sorba kerüljön, hiszen így két nulla lesz az első sorban.
Tükrözzük a determinánst a főátlóra, azaz cseréljük meg a determináns sorait az oszlopaival:
Cseréljük meg a determináns első két sorát:
A determináns kiszámolását most már könnyen elvégezhetjük:
