A komplex számok halmaza a valós számkör olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás.
A komplex számok halmazát betűvel jelöljük.
Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete -1. Ennek jele i. Tehát .
A komplex számokat azonosíthatjuk az -sík pontjaival. Ekkor és a sík egy tetszőleges pontjának a komplex számot feleltetjük meg.
Eszerint a jelölés szerint a kifejezést a komplex szám algebrai alakjának nevezzük.
Kényelmi okokból és sorrendje felcserélhető, illetve a jel helyett is írható, ha az eredeti jelölés szerint negatív szám lenne. Például
kényelmesebb jelölést eredményez.
Definíció:Jelölések, elnevezések.
Legyen egy tetszőleges komplex szám algebrai alakja.
valós része
képzetes (imaginárius) része pedig
Az origónak megfelelő komplex számot továbbra is -val jelöljük.
Komplex szám hossza.
a komplex szám hossza. Ez éppen a komplex számnak megfelelő helyvektor hossza.
Definíció:Műveletek a komplex számok körében
Legyen és két komplex szám.
Komplex szám konjugáltja.
jelöli az komplex szám konjugáltját. Ez a megfelelő síkbeli pont tengelyre való tükrözése.
Két komplex szám összege.
azaz összeadjuk a valós és képzetes részeket.
Két komplex szám szorzata.
Ez utóbbit úgy kaphatjuk meg, hogy a kifejezésben felbontjuk a zárójeleket és kihasználjuk, hogy .
A műveletek alkalmazásával kapjuk, hogy
Két komplex szám különbsége.
Komplex szám reciproka.
Ha , akkor
Két komplex szám hányadosa.
Ha , akkor
Gyökvonás.
Az komplex számnak négyzetgyöke a szám, ha
Eszerint a következő egyenletrendszert kapjuk -re és -ra:
Ez mindig megoldható, és esetén mindig pontosan két különböző megoldás van.
Tétel:A fenti műveletek tulajdonságai ugyanazok, mint amit a valós számoknál megszokhattunk. Ne feledjük azonban, hogy a komplex számok körében nincs rendezés, azaz nincs értelme megkérdezni, hogy melyik komplex szám nagyobb a másiknál.
Definíció:Komplex számok trigonometrikus alakja.
A sík pontjait polárkoordinátákkal is felírhatjuk. Ha és a neki megfelelő síkvektor hossza , szöge pedig , akkor
és így
Ezt a kifejezést a komplex szám trigonometrikus alakjának nevezzük.
Tétel:A műveletek trigonometrikus alakban.
Szorzási szabály.
A és komplex számok szorzata trigonometrikus alakban:
azaz a hosszakat összeszorozzuk, a szögeket pedig összeadjuk.
Hatványozás.
Ha egy egész szám, ,akkor
Moivre-képlet.
Az egység hosszú komplex szám esetén kapjuk a Moivre-képletet:
Gyökvonás. A gyökvonás trigonometrikus alakban:
ahol vagy lehet.
Egész kitevős gyökök.
Ha egy pozitív egész szám, ,akkor
ahol lehet.
9.1. Feladatok
Határozzuk meg a következő komplex számok valós és képzetes részét! Rajzoljuk
be a komplex számokat a komplex számsíkra! Számoljuk ki az abszolút értéküket!
Írjuk fel az előző komplex számok konjugáltját! Adjuk meg a konjugáltak
valós és képzetes részét! Ábrázoljuk az eredeti
számokat kékkel, a konjugáltakat pirossal ugyanabban a koordinátarendszerben!
Számoljuk ki a konjugáltak abszolút értékét, és hasonlítsuk össze az eredeti
számok abszolút értékével!
Adott a komplex szám. Számoljuk ki a következő kifejezéseket:
Adott két komplex szám és . Számoljuk ki a következő kifejezéseket:
Legyen . Számítsuk ki a következő műveletek eredményeit algebrai alakban!
Számoljuk ki a komplex szám mint síkvektor
tükörképét az origóra;
tükörképét a valós tengelyre;
háromszorosára nyújtott képét;
-tal való elforgatottját!
Hol vannak a komplex síkon azok a pontok, amelyekre igaz, hogy
Rajzoljuk be a következő komplex számokat a komplex számsíkra! Adjuk meg a komplex számok trigonometrikus alakját!
Rajzoljuk be a következő komplex számokat a komplex számsíkra! Adjuk meg a komplex számok algebrai alakját! Adjuk meg a számok abszolút értékét!
