26. Vonalintegrál

Tömegpont munkavégzése erőtérben: Legyen egy vektormező. Ez a tér minden pontjában az egységnyi tömegre ható erőt adja meg, ezért szokás erőtérnek is nevezni. Ha most egy pontszerű tömeg az erőtér hatására egy görbén mozog, hogyan számolható ki a az erő munkavégzése? Ha ez a görbe egy szakasz és az erő minden pontban ugyanaz (állandó) akkor tudjuk, hogy a munka a szakaszt megadó vektor és az erő skalárszorzata. A fizika törvényeiből az is következik, hogy ha az görbe egy poligon, a pedig állandó a poligon élein, akkor a munka a szakaszonként számított munkák összege, a munka "additív". Legyen most egy tetszőleges görbe, egy beírt poligon. Ha a poligon élein az erőt helyettesítjük egy, a megfelelő görbedarabon felvett állandó értékkel, azaz az erőteret konstansnak vesszük a poligon élein, akkor a végzett munka egy közelítését kapjuk. Nyilván minél finomabb felosztáshoz tartozó beírt poligont veszünk, annál pontosabban közelítjük a tényleges munkát.

26.1. A vonalintegrál definíciója

Definíció:
  • Integrálközelítő összeg. Legyen egy vektormező, pedig egy -beki rektifikálható görbe amelyet az leképezés ad meg. Legyen továbbá az intervallum egy felosztása, pedig közbenső helyek egy sorozata. Ekkor a
    számot integrálközelítő összegnek nevezzük. Ha bevezetjük a és illetve jelöléseket, akkor
  • Ha az intervallum egy felosztása akkor
    jelöli az felosztás finomságát. Azt mondjuk, hogy az felosztás \emtext{ finomabb -nál}, ha .
  • Azt mondjuk, hogy a vektormező vonalintegrálja létezik az által megadott rektifikálható görbén és a vonalintegrál értéke az szám, ha
    úgy, hogy tetszőleges felosztásra, melyre és tetszőleges esetén .
    Ezt az számot jelöli.
  • Ha az görbe zárt görbe, akkor szokás az integrált körintegrálnak is nevezni és -el jelölni.
  • Szokás még a vonalintegrált a következőképpen is jelölni:
Definíció:Vonalintegrál síkgörbén. A térgörbéken vett vonalintegrál definíciója természetes módon átvihető síkgörbékre is ha a vektormező helyett egy "síkbeli" vektormezőt értünk, azaz egy leképezést, ahol egy "egyszerű" síkbeli halmaz. Ekkor a vonalintegrál szokásos jelölése:

26.2. A vonalintegrál tulajdonságai

Tétel:
  • Ha a vektormező folytonos és a görbe folytonos és rektifikálható, akkor a vonalintegrál létezik.
  • A vonalintegrál kiszámolása. Ha a vektormező folytonos, és a görbe folytonosan deriválható (és ezért rektifikálható), akkor a vonalintegrált kiszámolhatjuk egy közönséges Riemann-integrál segítségével:
Definíció:
  • Egymáshoz csatlakozó görbék. Azt mondjuk, hogy a és a görbék egymáshoz csatlakozó görbék, ha , azaz a görbe végpontja megegyezik a görbe kezdőpontjával. Ilyenkor definiálhatunk egyetlen görbét, a két csatlakozó görbe összegét:
    Az ennek a görbének megfelelő "görbeosztályt" jelöli.
  • Ellentétes irányítású görbe. Ha egy görbe, akkor jelöli azt a görbét, amelynek pontjai ugyanazok, mint -nek, de "irányítása" az ellenkező, a kezdő és a végpont felcserélődik. Egy ilyen görbét például a
    leképezéssel kaphatunk.
Tétel:A vonalintegrál tulajdonságai.
  • Ha és két vektormező, amelyeknek a vonalintegrálja létezik a görbén, akkor létezik a integrálja is és
  • Ha az vektormező vonalintegrálja létezik a görbén és tetszőleges konstans, akkor létezik a integrálja is és
  • Egymáshoz csatlakozó görbéken a vonalintegrál additív, azaz
  • Ha a görbe irányítását ellenkezőjére változtatjuk, az integrál -el szorzódig, azaz

26.3. Konzervatív vektormező

Definíció:Vektormező primitív függvénye.
  • Azt mondjuk, hogy az skalármező primitív függvénye a vektormezőnek a nyílt halmazon, ha a minden pontjában
  • Ha az skalármező primitív függvény, akkor a függvényt potenciálnak} nevezik.
  • Ha a vektormezőnek van primitív függvénye, akkor a vektormezőt (erőteret) konzervatívnak nevezzük.
Tétel:
  • A primitív függvények csak konstansban különböznek, azaz ha és két primitív függvénye a vektormezőnek, akkor konstans, nem függ -től.
  • Newton-Leibniz-formula vonalintegrálokra. Ha a folytonos vektormező primitív függvénye az skalármező, akkor minden folytonos és rektifikálható görbe esetén
    Ha jelöli a görbe kezdőpontját, pedig a végpontját, akkor
    Ez azt jelenti, hogy konzervatív erőtér esetén a vonalintegrál független az úttól, csak a görbe végpontjaitól függ.
Tétel:Legyen egy vektormező. A következő állítások ekvivalensek:
  • A vektormezőnek van primitív függvénye.
  • A vonalintegrál független az úttól.
  • Minden zárt görbén a vonalintegrál nulla.
Tétel: Ha a vektormező folytonosan deriválható és -nek van primitív függvénye, akkor a vektormező örvénymentes azaz
Megjegyzés:
  • Azt a tényt, hogy örvénymentes, úgy is szokás mondani, hogy a vektormező keresztbe vett deriváltjai megegyeznek, hiszen a a következő azonosságokat jelenti:
  • A két dimenzióban ez a tény egyetlen azonosságot jelent:
  • A Newton-Leibniz-formula valójában egy helyettesítési szabály, ezért szokás az ott szereplő integrandust két változó esetén , három változó esetén -val jelölni. Ez primitív függvény keresése esetén utalás arra, hogy illetve jelöli a keresendő skalármezőt.
Megjegyzés: Könnyen látható, hogy az örvénymentesség nem elégséges feltétele annak, hogy legyen primitív függvény. Ha
akkor az origó körüli sugarú körvonalon a körintegrál
pedig a keresztbe vett deriváltak megegyeznek. A problémát az okozza, hogy ezek a zárt görbék körbe vesznek egy olyan pontot, ahol a vektormező nincs értelmezve, azaz az értelmezési tartomány "lyukas". A térben ennek a "lyuknak" egy egész egyenes illetve egy "végtelen görbe" felel meg. Ha a vektormező értelmezési tartománya "nem lyukas", akkor -t egyszeresen összefüggő tartománynak nevezzük. Ennek a tulajdonságnak a pontos definíciója túlmegy az előadás lehetőségein.
Tétel:
  • Minden konvex sík és téridom egyszeresen összefüggő.
  • Ha folytonosan deriválható örvénymentes vektormező a egyszeresen összefüggő tartományon, akkor -nek van primitív függvénye.

26.4. Feladatok

Határozzuk meg az alábbi vonalintegrálokat:
Határozzuk meg az alábbi vonalintegrált és ellenőrizzük, hogy a keresztbe vett deriváltak megegyeznek ( ):
Határozzuk meg az összes kétváltozós primitív függvényt:
Határozzuk meg az összes primitív függvényt: