Tétel:Bernoulli egyenlőtlenség: Ha nem negatív egész szám, pedig valós szám, akkor
Egyenlőség csak akkor van, ha , vagy , vagy , azaz
Megjegyzés:Minden állításnál pontosan tudni kell, hogy mit állítunk (mire következtetünk) és milyen feltételek mellet igaz a következtetés. Itt a feltételek -ről és -ről szólnak, a következtetés az egyenlőtlenség. Tehát
ha -re és -re teljesül,hogy , akkor igaz, hogy
Gyakran, mint most is egyszerre több (most két) állítást is kimond egy tétel. Ez akkor van, ha a feltételek elég hasonlóak. Az egyenlőtlenségeknél tipikus és fontos, hogy a szigorú egyenlőtlenség is szerepeljen, ha lehetséges.
Máskor, ebben a jegyzetben sokszor, a definíciókat (új névvel ellátott fogalmakat),
jelöléseket, tételeket a jobb áttekinthetőség kedvéért egy listába rendezzük.
Definíció:Pozitív számok közepei.
Az pozitív számok
•
számtani, vagy algebrai közepe:
;
•
mértani, vagy geometriai közepe:
;
•
harmonikus közepe:
;
•
négyzetes közepe:
.
Tétel:Közepek közötti egyenlőtlenségek.
. Egyenlőség csak abban az esetben van, ha mindegyik megegyezik.
Tétel:Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenség.
Tetszőleges és valós számok esetén
és egyenlőség csak akkor van ha minden vagy megadható egy valós szám úgy, hogy
4.1. Feladatok
Ábrázoljuk a számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát!
Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok körében!
Oldjuk meg a következő egyenleteket és egyenlőtlenségeket!
Bizonyítsuk be teljes indukcióval, hogy esetén
Hol a hiba?
Összeszorozva:
A logaritmus azonosságait használva:
A függvény szigorúan monoton nő, tehát:
Átszorozva az egyenlőtlenséget:
Balkezes Bendegúz a bal kezével mindig igaz, a jobb kezével mindig
hamis állításokat írt. Melyik kezével írta a következő állításokat?
Minden -cel osztható négyzetszám osztható -mal.
Minden -cal osztható szám osztható 2-vel és 4-gyel.
Minden -cal osztható szám osztható 2-vel vagy 4-gyel.
Minden -re végződő négyzetszám páratlan.
A páros szám.
Van olyan piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben
repked.
Minden piros krokodil, amelyik éppen most ebben a teremben
repked, -nél nagyobb prímszám.
☺ Minden mohikán hazudik, mondta az utolsó mohikán. Igazat mondott?
Írjuk fel a -9 és a -25 számok számtani és mértani közepét! Melyik nagyobb?
Mit mond ki a számtani és mértani közepekről szóló egyenlőtlenség? Magyarázzuk meg, miért nincs ellentmondás!
