Definíció:
Azokat a valós számokat, amelyeket felírhatunk két egész szám
hányadosaként racionális számoknak nevezzük.
A racionális számok halmazát -val jelöljük.
Példák racionális számokra:
Tétel:Két racionális szám összege, különbsége, szorzata, és ha a nevező nem , akkor a hányadosa is racionális.
Bizonyítás:
Legyenek egész számok. Ekkor
Ha , akkor
Definíció: Azokat a valós számokat, amelyeket nem írhatunk fel két egész szám
hányadosaként irracionális számoknak nevezzük.
Tétel: irracionális.
Bizonyítás:indirekt módon: (ld. Indirekt bizonyítás)
Tegyük fel, hogy racionális, azaz vannak olyan és
egész számok, amelyekre igaz, hogy
. Egyszerűsítsük az törtet úgy,
hogy az eredmény számlálója és nevezője már relatív prímek legyenek:
, ahol és legnagyobb közös osztója
.
Az indirekt feltevés miatt . Ebből
, vagyis . Ez csak úgy teljesülhet, ha
páros, legyen . Ekkor , vagyis
. Ez csak úgy teljesülhet, ha is páros. Így viszont
is páros, és is páros, ami ellentmond annak, hogy és
relatív prímek.
Ellentmondásra jutottunk, ezért irracionális.
Példák irracionális számokra:
Tétel:Végtelen sok irracionális szám van.
Bizonyítás:
Ha egész szám, akkor irracionális.
Tegyük fel indirekt, hogy , ahol és
egész számok. Ekkor , tehát
racionális lenne, ami ellentmond az előző tételnek.
Megjegyzés: Nem csak az alakú számok irracionálisak,
ezeken kívül is még végtelen sok irracionális szám van.
Minden valós szám vagy racionális vagy irracionális (azaz nem racionális) szám.
Jelölések:
, a valós számok halmaza.
, a racionális számok halmaza.
, az egész számok halmaza.
, a természetes számok halmaza (analízisben ez a pozitív egészek halmaza).
Az analízis feladatok megoldása közben nagyon gyakran kell
egyenlőtlenségeket megoldani. Ezért (is) fontos, hogy tudjuk az
egyenlőtlenségek tulajdonságait, hogy ne kövessünk el hibákat a
megoldás során, és az is, hogy könnyen és gyorsan tudjunk
egyenlőtlenségeket megoldani. A technikát sok gyakorlással lehet
elsajátítani, a hibák elkerülésében pedig segít a grafikus megoldás.
Helyes lépések egyenlőtlenségek megoldása közben:
Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldalához ugyanazt a számot hozzáadjuk: ha , akkor
.
Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldalából ugyanazt a számot kivonjuk: ha , akkor
.
Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív számmal megszorozzuk
vagy elosztjuk: ha , és , akkor és
.
Nem változik az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldala nagyobb vagy egyenlő, mint , és mindkét
oldalt négyzetre emeljük.
Megfordul az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldalát ugyanazzal a negatív számmal megszorozzuk
vagy elosztjuk: ha , és , akkor és
.
Megfordul az egyenlőtlenségjel iránya, ha az egyenlőtlenség
mindkét oldala pozitív, és vesszük mindkét oldal reciprokát.
Ha a fenti állításokban szereplő feltételek nem teljesülnek, akkor a
fenti állítások már nem maradnak érvényben. Ha a feltételek nem teljesülnek,
az egyenlőtlenségjel iránya bizonyos esetekben megváltozik, más
esetekben nem.
Példák:
Fontos: Különösen figyeljünk a megoldások közben olyankor,
amikor nem tudhatjuk az egyenlőtlenség oldalain szereplő kifejezések
előjelét, vagy ha nem tudhatjuk annak a kifejezésnek az előjelét,
amelyikkel az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk. Ilyenkor
segíthet az esetszétválasztás, vagy olyan megoldási technika
alkalmazása, amikor az előjeleknek nincs szerepük.
Példák:
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Ha mindkét oldalból kivonunk -et, közös nevezőre hozás után a
egyenlőtlenséget kapjuk. Tudjuk, hogy egy tört
értéke pontosan akkor negatív, ha a számláló és a nevező előjele
különböző. Ezt felhasználva a megoldás: vagy .
A megoldást grafikusan is ellenőrizhetjük.
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Megoldás:
Az egyenlőtlenség értelmezési tartománya az halmaz. Mivel
, ezért, ha , akkor az egyenlőtlenség
biztosan teljesül. Ha , akkor az egyenlőtlenség mindkét
oldalát négyzetre emelhetjük: . A másodfokú egyenlőtlenség
megoldása: , de a négyzetre emelést az feltétel
mellett végeztük el, így ennek az esetnek a megoldása: .
A két eset együttes megoldása: .
A megoldást grafikusan is ellenőrizhetjük.
2.3. Nevezetes közepek, egyenlőtlenségek a közepek között
A matematikában többféle átlagot, közepet definiálunk.
Definíció:
Az számok számtani vagy aritmetikai közepe
Az nemnegatív számok mértani vagy
geometriai közepe
Az nem számok
harmonikus közepe
Az számok négyzetes vagy
kvadratikus közepe
Most csak az esetben, azaz két szám esetén hasonlítjuk össze a
számokat és a közepeket.
Tétel:Ha , akkor .
Bizonyítás:
Ha , akkor , amiből . Ugyanígy, ha , akkor , amiből
.
A tétel szerint, ha veszünk két valós számot, legyenek ezek , akkor az
számtani közepük mindig közéjük esik. Ezért
nincsenek szomszédos valós számok.
Tétel: Ha , akkor .
Bizonyítás:
Ha , akkor , amiből . Ugyanígy, ha , akkor , amiből
.
Ha és pozitív számok, akkor mind a négy közepet
értelmezhetjük. Ebben az esetben teljesül a következő tétel:
Tétel:A számtani és mértani közepek
közötti egyenlőtlenség. Ha , akkor , és az
egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .
Bizonyítás:
(ld. Direkt bizonyítás) Tudjuk, hogy , és az egyenlőség
pontosan akkor teljesül, ha . Mivel , ezért
, vagyis , tehát , amiből , és az
egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .
Tétel:Egyenlőtlenségek a nevezetes közepek között. Ha , akkor , és az egyenlőségek pontosan akkor teljesülnek, ha .
Bizonyítás:
Az első egyenlőtlenség bizonyításához alkalmazzuk a már bizonyított számtani-mértani közép
egyenlőtlenséget az és számokra!
Így , amiből mindkét oldal reciprokát véve .
A számtani-mértani közép egyenlőtlenséget már bizonyítottuk.
A harmadik egyenlőtlenség bizonyításához induljunk ki az egyenlőtlenségből, ahol az
egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Az előbbi egyenlőtlenségből következik, hogy
, amiből .
Most nem bizonyítjuk, de több tagra is igaz az előző tétel:
Tétel:Egyenlőtlenségek a nevezetes közepek között:
Ha , akkor , és az egyenlőségek pontosan akkor teljesülnek, ha
bármelyik és esetén .
2.4. Szélsőértékek megkeresése a nevezetes közepek segítségével
A nevezetes közepek közötti egyenlőtlenségek segítségével sok esetben
meghatározhatjuk függvények szélsőértékeit.
Példák:
Határozzuk meg az függvényminimumát!
Megoldás:
Legyen és . Ekkor
és . Alkalmazzuk -ra és -re a számtani-mértani közép
egyenlőtlenséget!
, azaz . Tehát , és az
egyenlőség teljesül, ha , amiből .
Mennyi a hosszúságegység kerületű téglalapok területének
a maximuma? Határozzuk meg a maximális területtel rendelkező
téglalap oldalainak hosszát!
Megoldás:
Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel. Ekkor , amiből .
A téglalap területe . A számtani-mértani közép egyenlőtlenségből
, vagyis .
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha , vagyis . Tehát a négyzet területe
maximális, és a maximális terület értéke területegység.
Mennyi az hosszúságegység sugarú körbe írható téglalapok területének
a maximuma? Határozzuk meg a maximális területtel rendelkező
téglalap oldalainak hosszát!
Megoldás:
Jelöljük a téglalap oldalait -val és -vel. A
Pitagorasz-tétel szerint , tehát , így
. A téglalap területe . A nevezetes
közepek közötti egyenlőtlenség szerint , és az
egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Tehát . Így , és az
egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha . Mivel , és
, ezért . (Ld. még Megoldás
másodfokú függvény segítségével.)
Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor .
Megoldás:
Alkalmazzuk -ra és -ra a számtani-mértani közép
egyenlőtlenséget! Ekkor . Ebből .
2.5. Becslések
Az analízisben gyakran lesz szükség becslésekre. A
becslési technikát egy egyszerű példán keresztül mutatjuk be.
Példa:
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha
, akkor
FONTOS: Ez a feladat nem azonos azzal a feladattal hogy
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Ez utóbbi feladatban az összes olyan számot keressük, amely kielégíti
az egyenlőtlenséget. Az eredeti feladatban nem kérdezzük az összes
megoldást, csak olyan számot keresünk (ilyen -ból több
is van), amelyik esetén biztosak lehetünk abban, hogy ha ,
akkor az egyenlőtlenség teljesül. Az nem érdekel minket, hogy
esetén teljesül-e vagy sem az egyenlőtlenség. Mivel az eredeti feladat
nem egy egyenlőtlenség megoldáshalmazának a megkeresése, nem
is azzal a módszerrel célszerű dolgozni, amelyikkel az
egyenlőtlenségek megoldásakor szoktunk. Az eredeti feladat
megoldásához becsléseket írunk fel.
Megoldás:
Ha , akkor az kifejezés
monoton nő, vagyis nagyobb helyeken nagyobb értékeket vesz
fel. Sőt, ha , akkor még azt is tudjuk, hogy
Ezért -nél nagyobb számot keresünk, mert ekkor ha , akkor is teljesül. Azért tehetjük
meg, hogy eleve -nél nagyobb számot keresünk, mert nem
kell a legkisebb jó -t megkeresnünk, ha egyáltalán van a
jó -k között legkisebb.
Tehát, ha , akkor . Ez azt
jelenti, hogy ha , azaz , akkor . Tehát megoldása a feladatnak. (Sőt, a feladatnak
minden -nél nagyobb szám megoldása lesz.)
Megjegyzés:
Az nem derül ki az előző megoldásból, hogy van-e
a feladatnak -nél kisebb megoldása, de ez minket nem is
érdekel. Nem a legkisebb megoldást keressük.
A megoldás során nem az egyenlőtlenséget
oldottuk meg. Nem is tudtuk volna megoldani. A becsléssel
addig egyszerűsítettük a kifejezést, amíg egy könnyen megoldható
egyenlőtlenséghez () jutottunk.
Egy kicsit bonyolultabb
Példa:
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha
, akkor .
Megoldás:
Itt nem célravezető -t alulról becsülni -val,
mert akkor az kifejezéshez jutunk, de erre
nem igaz, hogy valamilyen számnál nagyobb -k esetén nagyobb, mint
. Tehát a becslés még jó, de nem segít a feladat
megoldásában. Ilyenkor kicsit másképpen becslünk. Fel fogjuk
használni, hogy ha , akkor .
biztosan teljesül, ha . Tehát jó megoldás.
Megjegyzés:
A becslésben a második egyenlőtlenség csak akkor
teljesül, ha . Ebben az esetben azért teljesül az egyenlőtlenség,
mert -ből -nál többet vonunk ki, így a különbség kisebb
lesz.
Mivel az eredmény lett, , tehát is
teljesül, ezért a becslés minden egyenlőtlensége igaz.
További példák:
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha
, akkor .
Megoldás:
Ha , akkor
biztosan igaz, ha . Tehát jó megoldás.
Megjegyzés:
Az, hogy esetén igaz-e az
egyenlőtlenség, az ebben a feladatban érdektelen.
Minden -nél nagyobb szám is jó megoldás.
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha
, akkor .
Megoldás:
biztosan igaz, ha , tehát jó megoldás.
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha
, akkor .
Megoldás:
biztosan igaz, ha , tehát jó megoldás.
Eddig a megoldásoknál lényegében csak az
monotonitását használtuk fel. További becslést írhatunk fel a
binomiális tétel felhasználásával.
Binomiális tétel:
Másképpen írva
Ha , akkor
Ha , akkor az előző kifejezés mindegyik tagja pozitív, tehát a esetén
kifejezés szigorúan csökken amikor (pozitív) tagokat elhagyunk:
Tehát pozitív esetén , ahol , és ha , akkor
.
Példák:
Bizonyítsuk be, hogy .
Megoldás:
Legyen (a tétel feltételét mindig ellenőrizni kell), és alkalmazzuk az előző tételben
szereplő egyenlőtlenséget: .
Adjunk meg olyan számot, amelyikre teljesül, hogy ha ,
akkor .
Megoldás:
Legyen , (a tétel feltételét mindig ellenőrizni
kell),és alkalmazzuk az előző tételben szereplő egyenlőtlenséget:
biztosan igaz, ha , tehát
jó megoldás.
Megjegyzés: Az állítás, miszerint pozitív esetén
, ahol , a Bernoulli-egyenlőtlenség
leszűkítése arra az esetre, amikor .
Bernoulli-egyenlőtlenség: , ha és . Az egyenlőség pontosan akkor
teljesül, ha vagy vagy .
A Bernoulli-egyenlőtlenséget most nem, de a következő félévben bizonyítjuk.
2.6. Feladatok
Bizonyítsuk be, hogy két racionális szám összege racionális!
Bizonyítsuk be, hogy irracionális!
Bizonyítsuk be, hogy
irracionális!
Bizonyítsuk be, hogy a következő számok irracionálisak!
Indirekt módon tegyük fel, hogy racionális. Ekkor megadható két egész szám, és
úgy, hogy
Feltehetjük, hogy mindkét egész szám pozitív és a hányadosuk már nem egyszerűsíthető, azaz
és relatív prím számok. Az egyenlőséget -tel beszorozva
Eszerint osztható -mal. Mivel prímszám ezért is osztható -mal,
, ahol egy pozitív egész szám.
Az előző gondolatmenethez hasonlóan azt kapjuk, hogy is osztható -mal. Ez ellentmond annak, hogy és relatív prím.
Megjegyzés: Ugyanez a bizonyítás helyett tetszőleges prímszámra is elmondható: ha prímszám, akkor irracionális. Valójában -ről csak azt használtuk ki, hogy nem osztható -nél nagyobb négyzetszámmal, azaz előáll különböző prímszámok szorzataként. A bizonyítást tovább gondolva megkaphatjuk azt a tételt, hogy pozitív egész esetén négyzetszám vagy irracionális.
Indirekt módon tegyük fel, hogy racionális szám.
De akkor és is racionális szám. Ez ellentmond az előző ( 2.4. feladat ) állításának!
Indirekt módon tegyük fel, hogy
ahol és két relatív prím pozitív egész szám. Mivel és két különböző prímszám, ezért osztható -tal, . Innen
és így is osztható -tal, ami ellentmondás.
Indirekt módon tegyük fel, hogy
ahol és két relatív prím pozitív egész szám.
Innen azt kapjuk, hogy osztható -vel, pedig osztható -mal, azaz
ahol és két pozitív egész szám.
Innen kapjuk, hogy , és ezért is osztható -mal, ami ellentmondás.
Lehet-e
két irracionális szám összege racionális?
két racionális szám hányadosa irracionális?
Igaz-e, hogy egy racionális és egy irracionális szám összege irracionális?
Lehet-e két irracionális szám hányadosa racionális?
Igen lehet, például esetén . A 2.4. feladat szerint irracionális, de akkor a kétszerese is az.
Ez utóbbinál felhasználtuk, hogy ha egy irracionális számot megszorzunk egy nem nulla racionális számmal,
akkor irracionális számot kapunk (2.11. feladat).
Igaz-e, hogy egy racionális és egy irracionális szám szorzata irracionális?
Általában nem igaz, például esetén. Viszont ha racionális,
irracionális, akkor irracionális! Ezt indirekt módon könnyen beláthatjuk.
Tegyük fel, hogy racionális. De akkor is racionális, mert két racionális szám hányadosa, ha értelmes, racionális szám.
Igaz-e, hogy ha
és , akkor ?
Igaz, bizonyítsuk be indirekt módon: tegyük fel, hogy .
Mivel két racionális szám különbsége racionális, ezért
, ami ellentmondás.
, akkor az és számok közül az egyik racionális, a másik irracionális?
Nem igaz. Ellenpélda: .
Oldjuk meg a egyenletet a
valós számok halmazán!
Oldjuk meg algebrai úton és grafikusan is a következő egyenlőtlenségeket!
azaz
Tehát a egyenlőtlenség megoldásai a intervallum pontjai.
Tehát a egyenlőtlenség megoldásai az félegyenes pontjai.
Válasszuk szét az eseteket aszerint, hogy
eset:
illetve eset:
Az esetben
A esetben
Tehát az egyenlőtlenség megoldásai a
félegyenesek pontjai.
Mivel a másodfokú polinom főegyütthatója negatív, ezért a függvényértékek a két gyökön kívül negatívok, a parabola ``lefelé áll''. A két gyök:
Tehát a egyenlőtlenség megoldásai a
félegyenesek pontjai.
Oldjuk meg a következő két feladatot!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Keressünk meg azokat az értékeket, amelyekre igaz az, hogy
ha , akkor .
Azonos-e a két feladat megoldáshalmaza? Megoldása-e az (a), illetve a
(b) feladatnak az ? Ekvivalens-e az (a) és a (b) feladat?
Oldjuk meg a következő két feladatot!
Oldjuk meg az egyenlőtlenséget!
Keressünk meg azokat az értékeket, amelyekre igaz az, hogy
ha , akkor .
Azonos-e a két feladat megoldáshalmaza? Megoldása-e az (a), illetve a
(b) feladatnak az ? Ekvivalens-e az (a) és a (b) feladat?
Van-e olyan szám, amelyre teljesül, hogy ha , akkor
? Ha van, mutassunk ilyen számot! Hány ilyen számot tudunk
mutatni?
Van-e olyan szám, amelyre teljesül, hogy ha , akkor
? Ha van, mutassunk ilyen számot!
Hány ilyen számot tudunk mutatni?
Mivel , ezért . Azért, hogy a nevezőben ne legyen, feltesszük, hogy . Ezért
Tehát bármely szám megfelel.
Van-e olyan szám amelyre teljesül, hogy ha , akkor
? Ha van, mutassunk ilyen számot! Hány ilyen
számot tudunk mutatni?
Nincs ilyen . Ugyanis tetszőleges esetén
ha , akkor és
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha ,
akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha ,
akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Legyen pozitív.
Tehát minden megfelel.
Adjunk meg olyan számot, amelyre igaz, hogy ha ,
akkor . Hány megoldása van a feladatnak?
Legyen .
tehát minden megfelel, egy félegyenes minden pontja ``jó'' .
Megjegyzés: Ha csak az ötödfokú tagot hagyjuk meg a polinomból, akkor választhattunk volna -nél kisebb ``jó'' (de bonyolult) -t:
, de így sem kapjuk meg a lehető legjobb -t. Ehhez ugyanis a
ötödfokú egyenlet (legnagyobb) gyökét kellene kiszámolni, amihez nincs gyökmegoldó képlet.
Bizonyítsuk be, hogy ha , akkor az és számok számtani és mértani középére teljesül, hogy és .
Bizonyítsuk be, hogy nincsenek szomszédos valós számok, azaz bármely két (különböző) valós szám között van (mindkettőtől különböző) valós szám.
Írjuk fel az pozitív számok számtani és mértani közepét!
Bizonyítsuk be a egyenlőtlenséget! Mikor teljesül az
egyenlőség?
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív valós számra igaz, hogy
Mikor teljesül az egyenlőség?
Használjuk a kéttagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget az számokra! Egyenlőség akkor van, ha .
Megjegyzés: Az eredeti egyenlőtlenség jobb oldalát a két pozitív szám harmonikus közepének nevezzük. Eszerint tehát két pozitív szám harmonikus közepe kisebb vagy egyenlő a mértani közepüknél. Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha a két szám megegyezik.
Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív valós számra igaz, hogy
Mikor teljesül az egyenlőség?
Az előző feladatban beláttuk, hogy
Másrészt
Mindkét egyenlőtlenségben akkor és csak akkor van egyenlőség, ha .
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív szám esetén
.
ahol . Alkalmazzuk -ra és reciprokára a kéttagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:
azaz
Egyenlőség akkor van, ha
Tehát az függvény minimuma , minimumhelye .
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Határozzuk meg az függvény minimumát!
Az számok kielégítik az feltételt. Határozzuk meg a kifejezés
lehetséges legnagyobb és legkisebb értékét! (Pósa Lajos: Matematika
Összefoglalás 447. feladat)
Adott kerületű derékszögű háromszögek közül határozzuk meg a legnagyobb
területűt!
A kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe?
A területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete?
Ha a téglalap két oldala és , akkor .
Használjuk a kéttagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget:
A kerület akkor minimális, ha a fenti egyenlőtlenségben egyenlőség teljesül, azaz .
Tehát az adott területű téglalapok közül a négyzet kerülete minimális.
Az egyenletű parabola melyik pontja van legközelebb az
ponthoz? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 202. feladat.)
A egyenletű parabola melyik pontja van legközelebb az
ponthoz? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 203. feladat.)
Két szám összege egy adott értékkel egyenlő. Mikor minimális a két szám
négyzetének,
köbének
az összege? (Pósa Lajos: Matematika összefoglalás 198. feladat.)
Adott hosszúságú kerítéssel egy téglalap alakú telket akarunk
bekeríteni úgy, hogy kerítést csak a téglalap három oldalára kell
építenünk, mert a negyedik oldalt egy folyó határolja. Mekkora a
lehető legnagyobb terület, amit így bekeríthetünk? Mekkorák lesznek
ebben az esetben a téglalap oldalai?
Használjuk az ábra jelöléseit!
A telek területe és a kerítés hossza:
Használjuk a kéttagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget, de nem -ra és -re, hanem -ra és -re!
Egyenlőség akkor és csak akkor van, ha . Ebben az esetben
Megjegyzés: Ha a képletből kifejezzük -t, és behelyettesítjük a terület képletébe, egy másodfokú függvényt kapunk az változóra. Ennek a parabolának kerestük meg a maximumát!
Egy négyzet alakú kartonlap oldala . A kartonból felül nyitott
dobozt készítünk úgy, hogy a négy csúcsnál kivágunk egy-egy oldalú
négyzetet, és a lap széleit felhajlítjuk. Legfeljebb mekkora lehet az
így kapott doboz térfogata? Határozzuk meg értékét a maximális
térfogat esetén!
Használjuk az ábra jelöléseit!
A doboz térfogata
Használjuk a háromtagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget a
számokra:
Egyenlőség akkor (és csak akkor) van, ha , azaz .
Legyen és . Melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Van olyan -beli elem, hogy minden esetén igaz, hogy .
Fogalmazzuk meg az előző négy feladat (2.49....2.52.) állításainak a tagadását!
A tagadások közül melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Legyen és . Melyik állítás igaz, és melyik hamis?
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Nem igaz, például esetén , de minden -ra .
Minden -beli elemhez van olyan , amelyikre igaz, hogy .
Igaz, minden esetén az ``jó'', azaz .
Van olyan -beli elem, hogy minden esetén igaz, hogy .