Ha az halmaz minden eleméhez hozzárendelünk egy elemet a halmazból, akkor függvényről beszélünk. Az halmaz a függvény értelmezési tartománya. A függvény értékkészlete a halmaz azon részhalmaza, amelynek elemeit hozzárendeltük az halmaz elemeihez. Ha és a valós számok részhalmazai, akkor valós függvényről beszélünk. A továbbiakban csak valós függvényekkel foglalkozunk. Fontos: Az értelmezési tartomány minden eleméhez , azaz EGY elemet rendelünk hozzá. Az értékkészlet bármelyik elemét viszont több elemhez is hozzárendelhetjük. Jelölés:

• Az függvény értelmezési tartományát -fel vagy -fel jelöljük.
• Az függvény értékkészletét -fel vagy -fel jelöljük.
• Azt, hogy az függvény értelmezési tartománya az halmaz, értékei pedig a halmazban vannak, így jelöljük: .

Definíció:A függvény grafikonja. Az függvény grafikonja a halmaz. A függvények grafikonját ábrázolhatjuk is. Ilyenkor a Descartes-féle koordinátarendszerben az értelmezési tartomány elemeit az tengelyen, a függvényértékeket pedig az tengelyen ábrázoljuk: .

Definíció: Két függvény egyenlő, ha értelmezési tartományuk megegyezik, és minden pontban ugyanazt az értéket veszik fel. Példa: Az és a függvények nem egyenlők egymással, mert az értelmezési tartományuk nem egyezik meg.

Definíció: A valós számok bizonyos részhalmazait intervallumoknak nevezzük. A következő intervallumokat értelmezzük ():

•				zárt intervallum
•				nyílt intervallum
•				balról nyílt, jobbról zárt intervallum
•				balról zárt, jobbról nyílt intervallum
•				balról zárt félegyenes
•				balról nyílt félegyenes
•				jobbról zárt félegyenes
•				jobbról nyílt félegyenes
•				számegyenes

Definíció: Azokat a helyeket, ahol a függvény -t vesz fel, zérushelyeknek nevezzük. Példák:

• Az függvény zérushelye .
• A függvénynek nincs zérushelye.

Definíció: A függvények monotonitási szakaszai azok az intervallumok, amelyeken a függvény végig monoton nő, és azok az intervallumok, amelyeken a függvény végig monoton csökken.

• Ha az függvény értelmezve van az intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy ha , akkor , akkor monoton nő az intervallumon.
• Ha az függvény értelmezve van az intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy ha , akkor , akkor szigorúan monoton nő az intervallumon.
• Ha az függvény értelmezve van az intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy ha , akkor , akkor monoton csökken az intervallumon.
• Ha az függvény értelmezve van az intervallumon, és az intervallum bármely két elemére teljesül, hogy ha , akkor , akkor szigorúan monoton csökken az intervallumon.

Példák:

• Az függvény szigorúan monoton csökken a intervallumon, szigorúan monoton nő a intervallumon, de nem monoton az egész számegyenesen.
• A függvény monoton nő az egész számegyenesen, és monoton csökken az egész számegyenesen.

Definíció:Szélsőértékek

• Az értéket az függvény maximumának vagy abszolút maximumának vagy maximum értékének nevezzük, ha értelmezési tartományában van olyan hely, amelyre , és sehol nem vesz fel -nél nagyobb értéket.
• Azokat a helyeket, ahol helyettesítési értéke az maximum érték, maximumhelyeknek nevezzük.
• Az értéket az függvény minimumának vagy abszolút minimumának vagy minimum értékének nevezzük, ha értelmezési tartományában van olyan hely, amelyre , és sehol nem vesz fel -nél kisebb értéket.
• Azokat a helyeket, ahol helyettesítési értéke az minimum érték, minimumhelyeknek nevezzük.

A maximum- és minimumhelyek közös neve: szélsőértékhelyek, a maximum és minimum értékek közös neve: szélsőértékek.

Definíció:Periodikus függvények Az függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan szám, hogy értelmezési tartományának minden elemére teljesül a következő két állítás:

(i)	és is eleme értelmezési tartományának,
(ii)	.

A definícióban levő számot a függvény periódusának nevezzük. Ha periódusa az függvénynek, akkor minden esetén is periódusa -nek.

Definíció:Páros és páratlan függvények

• Az függvényt párosnak nevezzük, ha az értelmezési tartomány minden elemére teljesül a következő két állítás:

  (i)	is benne van az értelmezési tartományban,
  (ii)	.

  A páros függvények grafikonja szimmetrikus az tengelyre.
• Az függvényt páratlannak nevezzük, ha az értelmezési tartomány minden elemére teljesül a következő két állítás:

  (i)	is benne van az értelmezési tartományban,
  (ii)	.

  A páratlan függvények grafikonja szimmetrikus az origóra.

Definíció:Algebrai műveletek.

• Függvények összege: Ha az és függvények értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési tartományt -vel, akkor a értelmezési tartománya szintén , és minden esetén .
• Konstanssal való szorzás: Ha az függvény értelmezési tartománya , és egy valós szám, akkor a függvény értelmezési tartománya szintén , és minden esetén .
• Függvények szorzata: Ha az és függvények értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési tartományt -vel, akkor a értelmezési tartománya szintén , és minden esetén .
• Függvények hányadosa: Ha az és függvények értelmezési tartománya megegyezik, jelöljük a közös értelmezési tartományt -vel, és -nek nincs zérushelye, akkor a értelmezési tartománya szintén , és minden esetén .

Definíció:Kompozíció. Ha és két valós függvény, akkor a összetett függvény értelmezési tartománya és minden esetén Ha , akkor az az összetett függvény külső függvénye, és a belső függvénye.

Legyen az egy olyan függvény, amelyiknek ismerjük a grafikonját, és legyen , ahol és rögzített valós számok.

• Külső függvénytranszformációról a ábrázolásakor beszélünk, ekkor .
• Belső függvénytranszformációról a ábrázolásakor beszélünk, ekkor .
• Összetett függvénytranszformáció esetén külső és belső transzformáció is előfordul.

• Függőleges eltolás:
  Az kifejezés az grafikonját felfelé tolja -vel, ha és lefelé -vel, ha .
  Példa:
  

  
  

---

• Vízszintes eltolás:
  Az kifejezés az grafikonját balra tolja -vel, ha és jobbra -vel, ha .
  Példa:
  

  
  

---

• Függőleges nyújtás:
  Az kifejezés az grafikonját az tengely irányában -szere\-sére változtatja. Ha , akkor nyújtja, ha , akkor zsugorítja. Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
  Példa:
  

  
  

---

• Vízszintes nyújtás:
  Az kifejezés az grafikonját az tengely irányában -szeresére változtatja. Ha , akkor nyújtja, ha , akkor zsugorítja. Ha pedig , akkor tükrözi az tengelyre.
  Példa:
  

  
  

Lineáris függvények: Az vagy alakú függvényeket lineáris függvényeknek nevezzük. Itt és állandó. Az elnevezést az indokolja, hogy grafikonjuk a síkban egyenes. Itt az egyenes meredeksége, pedig az tengellyel való metszéspontja az egyenesnek. Abban a speciális esetben, amikor , azaz a függvény grafikonja egy vízszintes egyenes, konstans függvényről beszélünk.

Hatványfüggvények: Az vagy alakú függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük. Itt egy állandó, a hatvány kitevője. Egyelőre csak olyan hatványfüggvényekkel foglalkozunk, amelyeknek a kitevője egy nem egész szám. Ha ez a kitevő egy pozitív egész szám, akkor a függvény értelmezési tartománya az egész számegyenes. Ha a kitevő negatív, akkor a függvény nincs értelmezve -ban. A pozitív kitevős hatványfüggvényekből és konstansokból az összeadás és szorzás segítségével előállítható függvényeket polinomoknak nevezzük. Minden polinom felírható alakban, ahol valós számok, a polinom együtthatói. Azt a legnagyobb indexet, amelyre , a polinom fokának nevezzük. Emiatt szokás a konstans függvényeket -ad fokú polinomoknak is nevezni. A törtkitevőjű hatványfüggvények közül különösen fontos az négyzetgyökfüggvény és az
köbgyökfüggvény. A négyzetgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a félegyenes, azaz a nemnegatív valós számok. A köbgyökfüggvény értelmezési tartománya és értékkészlete a egyenes, azaz az összes valós szám.

Exponenciális függvények: Az alakú függvényeket -alapú exponenciális függvényeknek nevezzük. Itt az alap csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . Az exponenciális függvények értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .

Logaritmusfüggvények: Az alakú függvényeket -alapú logaritmusfüggvényeknek nevezzük. Ezek az exponenciális függvények inverzei. Az alap itt is csak pozitív, -től különböző szám lehet: és . A logaritmusfüggvények értelmezési tartománya , értékkészlete pedig .

Trigonometrikus függvények: Az alábbi ábrákon a négy legismertebb trigonometrikus függvény grafikonja látható. Közülük a és a mindenütt értelmezve van, értékkészlete a zárt intervallum és szerint periodikus. A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol tetszőleges egész szám. A függvény nincs értelmezve ott, ahol a függvény értéke , azaz az helyeken, ahol tetszőleges egész szám. A és a függvény értékkészlete és szerint periodikus.

Definíció:

• Az valós szám egész része, jele , olyan egész szám, amelyre teljesül, hogy .
  Példák:
• Az függvény minden valós számhoz a szám egész részét rendeli.
  

  
  

---

• Az valós szám törtrészét, jele , úgy kapjuk, hogy a számból kivonjuk az egész részét: .
  Példák:
• Az függvény minden valós számhoz a szám törtrészét rendeli.
  

  
  

Definíció: Azt mondjuk, hogy az valós függvény egy-egyértelmű vagy kölcsönösen egyértelmű, illetve invertálható, ha az függvény különböző -beli pontokhoz különböző értékeket rendel. Példák egy-egyértelmű függvényekre: . Nem minden függvény egy-egyértelmű, példák nem egy-egyértelmű függvényekre: .

Definíció:Inverz függvény. Kölcsönösen egyértelmű függvények esetében a hozzárendelés irányát meg lehet fordítani. Ekkor az eredeti függvény értékkészletéből lesz az új függvény értelmezési tartománya, és az eredeti függvény értelmezési tartományából lesz az új függvény értékkészlete. A hozzárendelés megfordításával invertáljuk a függvényt. Az előbbi módon kapott új függvény az eredeti függvény inverze, illetve az eredeti és az új függvény egymás inverzei. Az függvény inverzét -gyel jelöljük. Ne keverjük össze az inverz függvényt a függvény reciprokával. Ha és egymás inverzei, akkor értelmezési tartománya megegyezik értékkészletével, értékkészlete megegyezik értelmezési tartományával, továbbá, ha értelmezve van az helyen, és , akkor .