Terület és térfogat.
A sík bizonyos korlátos részeihez, síkidomokhoz egy mérőszámot rendelhetünk, a területet. Ehhez hasonlóan a tér bizonyos korlátos részeihez, testekhez rendelhetjük a térfogatot. Közös nevük mérték, pontosabban Jordan-mérték. A terület illetve a térfogat pontos meghatározására csak később kerül sor. Ha egy halmazhoz sikerült mértéket rendelni, akkor az halmazt (Jordan) \emtext{ mérhetőnek} nevezzük és a mértékét -val jelöljük.
Nem minden korlátos halmaznak van területe illetve térfogata!
Tétel:Területszámítás.
Függvénygörbe alatti terület.
Legyen egy integrálható függvény, amelyre , ha . Ekkor az
síkidomnak van területe és
Normáltartomány területe.
Az előzőnél általánosabb típusú síkidom a normáltartomány:
Ha és két integrálható függvény -n, amelyekre esetén , akkor a
normáltartománynak van területe és
Például az sugarú origó középpontú kör is normáltartomány, ahol
Erre alkalmazva a fenti képletet, megkapjuk a kör területét, -et.
Tétel:Forgástest térfogata.
Legyen egy integrálható függvény, amelyre , ha . Ekkor a
forgástest mérhető és a test térfogata
Definíció:Függvénygrafikon ívhossza.
A síkban egy görbéhez, az egyszerűség kedvéért egy függvény grafikonjához hozzárendelhetjük a görbe hosszát, ha a görbe elég "sima". Ha egy görbének van ívhossza, a görbét rektifikálhatónak nevezzük. Nyilván egy poligon ívhossza a poligont alkotó szakaszok hosszának összege kell, hogy legyen. Felhasználva, hogy két pont között legrövidebb út az egyenes, egy görbe ívhossza nem lehet kisebb mint egy olyan poligoné, amelynek csúcsai a görbén fekszenek és a csúcsok
sorrendje megfelel a görbe "irányításának". Az ilyen poligonokat beírt poligonoknak nevezzük. Azt a legkisebb számot, amelyik minden beírt poligon hosszánál nagyobb vagy egyenlő, a görbe ívhosszának nevezzük.
Tétel:Az ívhossz kiszámolása.
Ha folytonosan deriválható függvény, akkor a grafikonjának van ívhossza és
16.2. Improprius integrál
Az eddigi integrálfogalom, a Riemann-integrál csak korlátos zárt intervallumon értelmezett korlátos függvények esetén volt értelmezhető. Hogy ezeket a megszorításokat részben megkerülhessük, bevezetjük az improprius integrál
fogalmát.
Definíció:
Improprius integrál félegyenesen.
Tegyük fel, hogy az függvény minden esetén integrálható az intervallumon, röviden integrálható az
részintervallumain. Ha létezik a
határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy az függvény improprius (nem valódi) integrálja az félegyenesen konvergens és értéke . Ezt úgy jelöljük, hogy
Ha a fenti határérték nem létezik vagy nem véges, az improprius integrál divergens.
Hasonlóan értelmezhetjük az improprius integrált abban az esetben, ha integrálható
intervallumon minden esetén. Ekkor
Improprius integrál a számegyenesen.
Az függvény improprius integrálja konvergens a számegyenesen, ha konvergens a és félegyeneseken.
Ennek jele és értéke
Improprius integrál korlátos intervallumon.
Legyen értelmezve az intervallumon és esetén integrálható -n, röviden integrálható az
részintervallumain. Amennyiben létezik a
határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy az függvény improprius integrálja az intervallumon konvergens és értéke . Ezt úgy jelöljük, hogy
Ha a fenti határérték nem létezik vagy nem véges, az improprius integrál divergens.
Hasonlóan értelmezhetjük az improprius integrált abban az esetben, ha integrálható intervallumon minden esetén. Ekkor
Megjegyzés:
Az improprius integrál csak olyan függvényekre értelmezhető, amelyek integrálhatók a részintervallumokon. A folytonos függvények ilyenek!
Ha az függvény Riemann-integrálható az akkor az kifejezés három számot is jelöl egyszerre: a közönséges integrált és a kétféle improprius integrált. Szerencsére ebben az esetben a három szám
megegyezik.
Az definíciójánál helyett tetszőleges valós számot vehetünk.
Tétel:Az improprius integrál kiszámolása.
Tegyük fel, hogy az függvénynek van primitív függvénye az félegyenesen, legyen ez , és integrálható minden valódi zárt részintervallumon. Az improprius integrál az félegyenesen akkor és
csak akkor konvergens, ha -nek van határértéke -ben és ez véges. Ekkor
Hasonló formulát kaphatunk a többi esetben is:
Bár elég gyakori, hogy egy improprius integrált nem tudunk kiszámolni, de van néhány módszer, aminek segítségével
eldönthetjük azt, hogy az improprius integrál konvergens vagy divergens.
Definíció:
Az függvény improprius integráljaabszolút konvergens, ha integrálható a megfelelő részintervallumokon és improprius integrálja konvergens.
Tétel:
Ha az improprius integrál abszolút konvergens, akkor konvergens is.
Megjegyzés:
Ez az állítás nem megfordítható, van olyan improprius integrál, például
amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens.
Tétel:
Tegyük fel, hogy és integrálható a megfelelő részintervallumokon.
