Ha végtelen sok számot összeadunk, pontosabban egy sorozat összes elemét
összeadjuk, végtelen sort kapunk. Ezt a végtelen sok tagú összeget a
kifejezéssel jelöljük.
Szeretnénk a végtelen sorokhoz hozzárendelni egy számot, a sor összegét. Ezt nem
minden sor esetén tudjuk megtenni.
Tekintsük a végtelen sort, és
legyen ennek összege az szám.
Mivel kétszer akkora számok összege nyilván kétszer akkora, ezért a
sor összege . De ha az eredeti sorból elhagyjuk az első tagot, azaz
kivonunk -et, éppen ezt a sort kapjuk.
Tehát eljutottunk az egyenlethez. Ebből kapjuk, hogy a csupa
pozitív tagból álló sor, a kettő hatványok összege negatív, .
Ez nyilvánvaló képtelenség.
20.1. Végtelen sorok konvergenciája
Definíció:
Részletösszegek.
A végtelen sor -edik részletösszegén
az elő darab tag összegét értjük.
A konvergencia definíciója.
Ha a részletösszegek sorozata konvergens és tart az számhoz, akkor azt
mondjuk, hogy a végtelen sor konvergens, és
az összege . Ezt úgy jelöljük, hogy
Abszolút konvergencia.
Azt mondjuk, hogy a sor abszolút
konvergens, ha a sor konvergens.
Tétel:Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens.
Definíció:
Divergens sor.
Ha a részletösszegekből képzett sorozat divergens, akkor azt mondjuk, hogy
a végtelen sor divergens.
Ha , akkor azt mondjuk, hogy a végtelen sor összege . Ezt úgy jelöljük, hogy
Ha , akkor azt mondjuk, hogy a végtelen sor összege . Ezt úgy jelöljük, hogy
Megjegyzés:
Jegyezzük meg, hogy ha minden pozitív, akkor a részletösszegek
sorozata monoton növő, ezért vagy konvergens (ha korlátos), vagy tart a
végtelenbe.
Definíció:Nevezetes numerikus sorok.
Geometriai sor.
Ha tetszőleges valós szám, a végtelen sort
geometriai sornak nevezzük.
Harmonikus sor.
A sort harmonikus sornak nevezzük.
, azaz a
váltakozó előjelű harmonikus sor konvergens.
végtelen sor konvergens, ha
és divergens ha .
20.2. A konvergencia tulajdonságai
Tétel:
Ha a végtelen sor konvergens, akkor .
Megjegyzés:
A feltétel a konvergencia szükséges feltétele, de
nem elégséges mint azt a harmonikus sor példája is mutatja:
a harmonikus sor tagjai nullához tartanak, de a harmonikus sor divergens!
Tétel:Műveleti szabályok.
Ha a végtelen sor konvergens és összege , akkor
tetszőleges valós szám esetén
a végtelen sor is konvergens és összege
. Röviden:
Ha a és végtelen sorok
konvergensek és összegük illetve ,
akkor a végtelen sor is konvergens és
összege . Röviden:
Megjegyzés:
A alakú sorok kiszámolására nincs szabály!
Tétel:Konvergencia kritériumok.
Majorizációs elv.
Ha a és végtelen sorok
tagjaira teljesül,
hogy és a végtelen sor
konvergens,
akkor a végtelen sor abszolút konvergens.
A fenti tételben elég az is, ha az feltétel véges sok tag
kivételével minden -re teljesül.
Nagyságrendi kritérium.
Ha a és két pozitív tagú
sor és ,
ahol , akkor a két sor egyszerre konvergens vagy divergens, azaz ha az egyik sor konvergens, akkor a másik is.
Hányadoskritérium.
Ha , akkor a
végtelen sor esetén abszolút konvergens,
esetén pedig divergens. A esetben a hányados kritérium segítségével
nem tudjuk eldönteni, hogy a sor konvergens vagy divergens.
Gyökkritérium.
Ha akkor a végtelen sor
esetén abszolút konvergens, esetén pedig divergens.
A esetben a gyökkritérium segítségével nem tudjuk eldönteni, hogy a sor
konvergens vagy divergens.
Integrál kritérium.
Ha egy monoton csökkenő pozitív függvény az félegyenesen, akkor
a végtelen sor
és az improprius integrál egyszerre konvergens vagy
divergens.
