A síkban illetve a térben az irányított szakaszok osztályait vektoroknak nevezzük. Két irányított szakasz ugyanazt a vektort határozza meg (ugyanabban az osztályban vannak), ha az egyik a másikba eltolással átvihető.
Helyvektor.
Az origóból induló, egy adott pontba húzott irányított szakasz a pont helyvektora.
Az origó helyvektorát null-vektornak nevezzük. Jele: .
A síkban az irányú egységvektor , az irányú egységvektor .
A térben az irányú egységvektor , az irányú egységvektor , a irányú egységvektor .
Tétel:Minden vektor egyértelműen azonosítható egy pont helyvektorával.
Definíció:Vektor műveletek.
A vektorok közt értelmezzük az összeadást és a valós számmal (skalárral) való szorzást. Az összeadást a paralelogramma szabály szerint kaphatjuk meg, a skalárral való szorzást pedig az (előjeles) nyújtással.
Tétel:Vektor műveletek koordinátákkal.
Ha és két vektor a síkban pedig tetszőleges valós szám, akkor
Ha és két vektor a térben pedig tetszőleges valós szám, akkor
Tehát a Descartes-koordinátákban adott pontok helyvektorain a műveleteket koordinátánként kell elvégezni.
Definíció:Vektor hossza és szöge.
Az vektor hossza, , a megfelelő pont távolsága az origótól. Tehát
a síkban, ha , akkor
a térben, ha , akkor
Az irányú egységvektor
Az vektor szöge az origóból induló és a vektornak megfelelő ponton átmenő félegyenes és az -tengely "pozitív fele" által meghatározott szög. A null-vektornak nincs szöge!
Két vektor által közbezárt szög a megfelelő félegyenesek által bezárt szög.
Definíció:Skalárszorzat.
Két vektor, és skaláris szorzatán vagy skalárszorzatán az
valós számot értjük, ahol a két vektor által közbezárt szög. A skaláris szorzatot jelölik még
módon is.
Tehát a skaláris szorzat eredménye egy valós szám, nem pedig vektor!
Tétel:A skalárszorzat tulajdonságai.
, a skaláris szorzat kommutatív},
, a skalár szorzó kiemelhető,
, a skaláris szorzat disztributív.
,
Az és vektorok pontosan akkor merőlegesek egymásra, ha .
A skaláris szorzat kiszámolása a síkban:
A skaláris szorzat kiszámolása a térben:
Definíció:Vektoriális szorzat.
Ha és két vektor a térben, akkor vektoriális szorzatuk az a vektor, amelyre
, itt a közbezárt szög,
merőleges az és vektorokra,
az vektorok jobbsodrású rendszert alkotnak.
A vektoriális szorzat jele: .
Tétel:A vektoriális szorzat tulajdonságai.
, antikommutatív,
, disztributív,
, a skalár szorzó kiemelhető.
Az vektoriális szorzat hossza a két vektor által kifeszített paralelogramma területe.
Két vektor pontosan akkor párhuzamos, ha vektoriális szorzatuk nulla.
Az helyvektorú térbeli pontok pontosan akkor vannak rajta egy egyenesen, más szóval kollineárisak,ha .
A vektoriális szorzat kiszámolása koordinátákkal:
ha , akkor
A vektoriális szorzat kiszámolása szimbolikus determinánssal:
ha , akkor
Definíció:Vegyes szorzat.
Három térbeli vektor vegyes szorzata az
valós szám.
Tétel:A vegyes szorzat tulajdonságai.
, a skalár szorzó kiemelhető.
, disztributív.
A vegyes szorzat kiszámolása determinánssal:
Ha , és a tér három vektora, akkor
A vegyes szorzat az úgynevezett paralelepipedon előjeles térfogata.
Az helyvektorú térbeli pontok pontosan akkor vannak rajta egy síkon, más szóval komplanárisak, ha .
Bizonyítsuk be, hogy két vektor skalárszorzata mindig kisebb vagy egyenlő,
mint a két vektor hosszának a szorzata! Írjuk fel a megfelelő egyenlőtlenséget
a vektorok koordinátáival! Hasonlítsuk össze az egyenlőtlenséget a
Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenséggel!
Legyen az háromszögben a -ből -ba mutató vektor , a
-bõl -be mutató vektor és legyen . Az egyenlőség mindkét oldalát skalárisan megszorozva önmagával,
bizonyítsuk be a koszinusz-tételt!
